Công thức Euler và các dạng bài toán ứng dụng trong toán học

Công thức Euler và các dạng bài toán ứng dụng trong toán học

Công thức Euler được xem là một dạng công thức đặc biệt trong chương trình Toán học bậc phổ thông trung học. Bài học ngày hôm nay chúng tôi sẽ giới thiệu với các bạn về định nghĩa cũng như các ứng dụng của công thức này vào trong giải toán. Hy vọng chúng sẽ giúp bạn đạt được điểm số cao!

I. Định nghĩa

Công thức Euler, hay còn gọi là đồng nhất thức Euler, là một công thức toán học trong ngành giải tích phức, được xây dựng bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler. Công thức chỉ ra mối liên hệ giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ phức.

Cụ thể, với mọi số thực x, ta có:

\({\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\ }\)

Trong đó:  e là cơ số logarit tự nhiên, i là đơn vị của số phức, \({\displaystyle \sin x\ } \)và \({\displaystyle \cos x\ } \)là các hàm số lượng giác.

II. Bài toán chia kẹo Euler

Bài toán chia kẹo Euler là bài toán đếm nổi tiếng với nhiều ứng dụng trong các bài toán đếm khác. Bài này tôi trình bày bài toán gốc cơ bản và một số bài toán đếm dạng ứng dụng mà nếu đếm theo cách thông thường sẽ rất khó khăn, nhưng khi hiểu theo các đếm của bài toán Euler thì bài toán lại trở thành đơn giản.

Nội dung bài toán chia kẹo Euler: Có k chiếc kẹo giống nhau chia cho n em bé. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chia kẹo?

Bài toán đề cập đến các đối tượng của tổ hợp như hoán vị lặp, tổ hợp lặp, bài toán tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình \(x_1 + x_2 + . . . + x_n = k\) và một số ứng dụng của bài toán chia kẹo.

Lời giải: 

- Từ bài toán thực tế suy ra kết quả bài toán chia kẹo của Euler.

Chúng ta đều biết, trong một chuỗi nhị phân, các phần tử nhận một tronhg hai giá trị 0 hoặc 1. Số dãy nhị phân thỏa mãn có độ dài n và trong mỗi dãy có đúng k (\(0\le k\le n\)) phần tử nhận giá trị bằng 1 là \(C_n^k\).

- Bài toán mở đầu:

Cho một lưới gồm các ô vuông. Các nút được đánh số từ 0 đến m theo chiều dài từ trái sang phải và từ 0 đến n theo chiều từ dưới lên trên. Hỏi có bao nhiêu đường đi khác nhau từ nút (0;0) đến nút (m;n) nếu chỉ cho phép đi trên cạnh các ô vuông theo chiều từ trái sang phải hoặc từ trên xuống dưới?

Hướng dẫn: Một đường như thế được xem gồm (m+n) đoạn ( mỗi đoạn là một cạnh của ô vuông ). Tại mỗi đoạn chỉ được chọn trong hai giá trị đi lên ( ta mã hóa là 1 ) hay sang phải ( ta mã hóa là 0 ). Số đoạn đi lên đúng bằng n và số đoạn sang phải đúng bằng m. Bài toán dẫn đến việc tìm xem có bao nhiêu dãy nhị phân có độ dài ( m+n ) trong đó có đúng n thành phần có giá trị bằng 1.

Kết quả cần tìm là \(C_{m+n}^n\).

Ta cho một hạt chuyển động trên một đường đi thỏa mãn yêu cầu bài toán trên ( tức là xuất phát từ điểm (0;0) và kết thúc tại điểm (m;n), chỉ được phép đi lên hoặc sang phải). Gọi \(x_{i+1}\) là số đoạn mà hạt đó đi lên theo đường thẳng đứng có chỉ số i (i= {1;m}). Khi đó, số đường thẳng đi thỏa mãn chính bằng số nghiệm nguyên không âm của phương trình \(x_1+x_2+...+x_{m+1}=n\). Số nghiệm đó bằng \(C_{m+n}^n\).

Theo bài toán mở đầu trên, số nghiệm cần tìm cho bài toán chia kẹo Euler là \(C_{m+n-1}^{m-1}\).

III. Ứng dụng của từ bài toán gốc chia kẹo của Euler

    1. Ứng dụng bài toán gốc chia kẹo của Euler vào đếm số nghiệm nguyên của phương trình

Bài 1: Phương trình \(x_1+x_2+...+x_k=n\) có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm?

Hướng dẫn giải: Có \(x_1+x_2+...+x_k=n\leftrightarrow (x_1+1)+(x_2+1)+...+(x_k+1)=n+k\) .

Đặt\(x'_i=x_i+1 \) thì \(x'_i\) là các số nguyên dương.

Áp dụng bài toán gốc ta có tất cả \(C_{n+k-1}^{k-1}\) nghiệm nguyên không âm của phương trình.

Bài 2: Giải bất phương trình?

Hướng dẫn giải: Có \(\\x_1+x_2+...+x_kn\) với \(x' \ge1\) . Vậy có tất cả \(C_{n-1}^k\)nghiệm nguyên dương của phương trình.

    2. Ứng dụng bài toán gốc chia kẹo của Euler vào các bài toán đếm thực tế

Bài 1: Cho đa giác đều 15 đỉnh. Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giá đều này. Chọn ngẫu nhiên 1 tam giác thuộc M. Tính xác suất để tam giác được chọn là tam giác cân nhưng không đều.

Hướng dẫn giải: Giải sử đa giác đều nội tiếp đường tròn ( O ) và số đo mỗi cung căng 1 canh là 1 đơn vị, ta có 15 cung bằng nhau như vậy. Không gian mẫu có kích thước \(|\Omega|= C_{15}^3\) .

Xét một đỉnh tam giác cân có 1 đỉnh là 1 đỉnh của đa giác đều thì số đo cung chứa hai cạnh bên bằng nhau bằng\(x\ge1, x\in Z\), cạnh còn lại là \(y\ge1, x\in Z\), . Ta có \(2x+y=15\leftrightarrow x\le 7\) và \(x \neq y \rightarrow x\neq 5\).Vậy có 6 tam giác cân có đỉnh là đỉnh của đa giác đã cho nên có tất cả 15 x 6 = 90 tam giác cân không đều thỏa mãn. Vậy xác suất cần tính là \(P= \dfrac{90}{C_{15}^3}=\dfrac{18}{91}\).

Bài 2: Cho đa giác đều 20 đỉnh. Lấy ngẫu nhiên 3 đỉnh. Tính xác suất để 3 đỉnh đó tạo thành một tam giác vuông không cân.

Hướng dẫn giải: Gọi ( O ) là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều 20 đỉnh và gọi số đo mỗi cung chắn bởi 1 cạnh của đa giác là 1 đơn vị, ta có 20 cung như vậy.

Xét 1 tam giác vuông tại một đỉnh của đa giác, gọi m, n là số đo hai cung căng bởi hai cạnh bên của tam giác, ta có m + n = 10 (*) với \(n,m\ge 1;m,n \in Z\) . Do đó số tam giác vuông tạo thành từ 1 đỉnh là \(C_9^1= 9\) trong đó có 1 tam giác vuông cân khi m = n = 5 nên có 8 tam giác vuông không cân từ 1 đỉnh. Vậy có tất cả 20 x8 = 160 tam giác vuông không cân thỏa mãn.

Vậy xác suất cần tính là \(P= \dfrac{160}{C_{20}^3}=\dfrac{8}{57}\).

Bài 3: Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Rút ngẫu nhiên một một số thuộc tập S. Tính xác suất để rút được số mà trong đó chữ số đứng sau luôn lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng trước?

Hướng dẫn giải: Không gian mẫu dễ tính được \(|\Omega|= 7.8.8=448\) .

Xét một số abc thỏa mãn đề bài thì \(1\le a\le b\le c\le 7\) .

Đặt x = a - 1 ; y = b - a; z = c - b; t = c - 7 ta có \(x,y,z,t\ge 0; x,y,z,t \in Z\) và x + y + z + t = 6 (*).

Vậy số nghiệm nguyên không âm của phương trình (*) chính là số các số abc thỏa mãn đề bài. Mà \(C_{6+4-1}^{4-1}= C_9^3\) . Do đó có \(C_9^3\) số thỏa mãn biến cố xảy ra. Vậy xác suất cần tính là \(P= \dfrac{C_{9}^3}{448}=\dfrac{3}{16}\).

IV. Một số lời khuyên làm bài về công thức Euler

• Đầu tiên các bạn nên nắm chắc lý thuyết về công thức Euler.
• Luyện tập các bài tập liên quan đến công thức Euler để nắm chắc dạng đề thường ra, tham khảo trên các trang mạng học tập ví dụ như Cùng học vui hoặc tham khảo thêm từ nguồn sách tham khảo.
• Ngoài  bài tập về Euler ra, các bạn nên tham khảo thêm các phần lý thuyết khác thường ra trong đề thi Toán học để đạt được số điểm tuyệt đối, để biết thêm vui lòng xem thêm tại Công thức toán học
• Luyện làm quen với đề thi, tham khảo thêm cho mình một số mẹo cũng như phương pháp làm bài khá hữu ích mà được đông đảo các bạn học sinh lựa chọn mà chúng tôi đã tổng hợp tại Mẹo học tập từng môn. Nó chắc chắn sẽ giúp ích các bạn rất nhiều trong quá trình giải bài tập.
• Việc trao đổi nhóm hoặc tham khảo ý kiến thầy cô giáo cũng là một cách học thiết thực và đem lại hiệu quả cao trong học tập.
• Tuy việc rèn luyện là một việc làm rất cần thiết nhưng các bạn cũng nên dành một chút thời gian để nghỉ giải lao cũng như thư giãn bằng cách: chơi thể thao, nghe nhạc hay gặp gỡ bạn bè...Nhằm mục đích giúp các bạn thư giãn hơn sau các giờ học căng thẳng, chúng tôi đã sáng tạo ra một mục giải trí rất thú vị mà bạn có thể xem thêm tại Đố vui

Trên đây là toàn bộ những thông tin cần thiết chúng tôi đã tổng hợp được về topic công thức Euler. Nếu có thắc mắc và hay tài liệu tham khảo thú vị về công thức Euler vui lòng để lại dưới mục bình luận cũng như chia sẻ thêm cho các  bạn đọc cùng biết. Chúng tôi tin chắc rằng, những nguồn thông tin hữu ích này sẽ giúp ích bạn trong việc học tập rất nhiều cũng như đem lại điểm số cao. Chúc các bạn may mắn!