Bài 9 trang 17 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho tam giác đều \(ABC\) có trọng tâm \(O\) và \(M\) là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi \(D,E,F\) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) đến \(BC, AC, AB\). Chứng minh rằng:

          \(\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = {3 \over 2}\overrightarrow {MO} \)

Hướng dẫn giải

Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác

A₁B₁ // AB;  A₂C₂ // AC;   B₂C₁ // BC.

Dễ thấy các tam giác MB₁C₂; MA₁C₁;MA₂B₂ đều là các tam giác đều. Ta lại có MD B₁C₂ nên MD cũng là trung điểm thuộc cạnh B₁C₂ của tam giác MB₁C₂

Ta có 2 = + 

Tương tự: 2 = + 

               2 = +

=> 2( ++) = (+) + ( + ) + (+)

Tứ giác là hình bình hành nên

           +  = 

Tương tự: + = 

                 + = 

=> 2( ++) = ++

vì O là trọng tâm bất kì của tam giác và M là một điểm bất kì nên

 ++ = 3.

Cuối cùng ta có: 

2( ++) = 3;

=>  ++ =