Bài 5 trang 17 SGK Hình học 10

Đề bài

Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(CD\) của tứ giác \(ABCD\). Chứng minh rằng:

                \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \)

Hướng dẫn giải

Với \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có:

+) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 .\)

+) Với mọi điểm \(O\) bất kì ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = 2\overrightarrow {OM} .\)

Lời giải chi tiết

\(N\) là trung điểm của \(CD\) nên ta có:

           \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} \)      (1)

Theo quy tắc 3 điểm, ta có:

           \(\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AC} \)            (2)

           \(\overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BD} \)          (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

\(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BD}  \)

\(= \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} \)\( = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} \)

Chứng minh tương tự, ta có: \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}. \)