Bài 82 trang 108 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình 107, trong đó \(ABCD\) là hình vuông. Chứng minh rằng tứ giác \(EFGH\) là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Áp dụng: +) Dấu hiệu nhận biết hình thoi: Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi.

+) Dấu hiệu nhận biết hình vuông: Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

Lời giải chi tiết

Các tam giác vuông \(AEH, BFE, CGF, DHG\) có:

\(AE = BF = CG = DH\) (1) (gt)

Theo giả thiết \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB=BC=CD=DA\)  (2) (tính chất hình vuông)

Mà: \(AH = AD - DH, BE = AB - AE, \)\(CF = BC - BF, DG = DC - CG \) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AH = BE = CF = DG\)

Nên  \(∆AEH =  ∆BFE =  ∆CGF \)\(=  ∆DHG\) (c.g.c)

Do đó

\(HE = EF = FG = GH\) ( các cạnh tương ứng)    

 \( \Rightarrow \) tứ giác \(EFGH\) là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)             

và \(\widehat{EHA}\) = \(\widehat{FEB}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)

Ta có \(\widehat{HEF} = 180^0- (\widehat{HEA}\) + \(\widehat{FEB}) \)

                     \(= 180^0- (\widehat{HEA}\) + \(\widehat{EHA})\)

                     \(= 180^0- 90^0= 90^0\) (Vì tam giác \(AHE\) vuông nên \((\widehat{HEA}\) + \(\widehat{EHA})=90^0\))

\( \Rightarrow \) Hình thoi \(EFGH\) là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)