Bài 8 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 8. Cho tứ diện ABCD với AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a.

a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

b) Chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt của hình tứ diện (nó được gọi là mặt cầu nội tiếp tứ diện)

Hướng dẫn giải

a)

Gọi I và I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta có \(\Delta ABC = \Delta ABD\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow CI = DI\)(2 trung tuyến tương ứng)

\(\Delta CID\) cân tại I nên \(IJ \bot AB\).

Gọi O là trung điểm của IJ thì OA = OB và OC = OD.

Vì AB = CD = c nên hai tam giác vuông OIB và OJC bằng nhau, do đó OB = OC.

Vậy O cách đều bốn đỉnh A, B, C, D. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm R = OA.

Ta có: \(O{A^2} = O{I^2} + A{I^2} = {{I{J^2}} \over 4} + {{A{B^2}} \over 4} = {{I{J^2} + {c^2}} \over 4}\)

Vì CI là trung tuyến của tam giác ABC nên \(C{I^2} = {{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}} \over 4}\)

Suy ra \(I{J^2} = C{I^2} - C{J^2} = {{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}} \over 4} - {{{c^2}} \over 4} = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over 2}\)

Như vậy \({R^2} = O{A^2} = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over 8}\) và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

\(S = 4\pi {R^2} = {\pi  \over 2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

b)

Các mặt của hình tứ diện là các tam giác bằng nhau (đều có ba cạnh bằng a, b, c) nên các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đó có bán kính r bằng nhau. Các đường tròn đó đều nằm trên mặt cầu tâm (O;R) nên khoảng cách từ tâm O tới các mặt phẳng chứa các đường tròn đó bằng nhau và bằng \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \).

Vậy mặt cầu tâm O, bán kính h là mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.

(OA = R, OH = h, HA = r)