Bài 8 trang 190 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 8. Chứng minh rằng:
a)) Nếu vec tơ $\overrightarrow u$ của mạt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ $\overrightarrow u$ là $\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|$, và từ đó nếu các điểm ${A_1},{A_2}$ theo thứ tự biểu diễn các số phức ${z_1},{z_2}$ thì $\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|;$

b) Với mọi số phức z, z', ta có $\left| {zz'} \right| = \left| z \right|\left| {z'} \right|$ và khi $z \ne 0$ thì $\left| {{{z'} \over z}} \right| = {{|z'|} \over {|z|}};$

c) Với mọi số phức z, z', ta có $|z + z'| \le |z| + |z'|.$

Hướng dẫn giải

a) Nếu $z=a+bi\;(a,b\in\mathbb R)$ thì $|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$

$\overrightarrow u$ biểu diễn số phức z thì $\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)$ và $|\overrightarrow u | = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$ do đó $\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|$.

Nếu ${A_1},{A_2}$ theo thứ tự biểu diễn các số phức ${z_1},{z_2}$ thì $\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  = \overrightarrow {O{A_2}}  - \overrightarrow {O{A_1}}$ biểu diễn ${z_2} - {z_1}$ nên $\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|.$

b) $z=a+bi;\;z'=a'+b'i$ thì $|z{|^2} = {a^2} + {b^2};|z'{|^2} = a{'^2} + b{'^2}$ và $z.z' = (aa' - bb') + (ab' + a'b)i$ nên 

$\eqalign{ & |z.z'{|^2} = {(aa' - bb')^2} + {(ab' + a'b)^2} = {(aa')^2} + {(bb')^2} + {(ab')^2} + {(a'b)^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = ({a^2} + {b^2})(a{'^2} + b{'^2}) = |z{|^2}.|z'{|^2} \cr & \Rightarrow |zz'| = |z|.|z'| \cr}$

Khi $z \ne 0$ ta có:

$\left| {{{z'} \over z}} \right| = \left| {{{z'\overline z } \over {|z{|^2}}}} \right| = {1 \over {|z{|^2}}}|z'.\overline z | = {1 \over {|z{|^2}}}.\left| {z'} \right|.\left| {\overline z } \right| = {1 \over {|z{|^2}}}.|z'|.|z| = {{|z'|} \over {|z|}}$

c) Giả sử $\overrightarrow u$ biểu diễn z và $\overrightarrow {u'}$ biểu diễn z' thì $\overrightarrow u+\overrightarrow {u'}$ biểu diễn z+z'. Ta có:

$\left| {\overrightarrow u  + \overrightarrow {u'} } \right| = \left| {z + z'} \right|;\,\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|;\,\left| {\overrightarrow {u'} } \right| = \left| {z'} \right|$

Mà $\left| {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right|$ nên $\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|$

Dấu "=" xảy ra khi $z=0$ hoặc $z'=0$.