Bài 7 trang 12 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) là hai vectơ khác\(\overrightarrow{0}\). Khi nào có đẳng thức

a) \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |\) + \(\left | \overrightarrow{b} \right |\);

b)  \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |= \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\).

Hướng dẫn giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có:

\(+ )\;\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).

\( + )\;\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Lời giải chi tiết

a) Xét:  \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |\) + \(\left | \overrightarrow{b} \right |\)

Giả sử hình bình hành \(ABCD\) có các kích thước \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow a ,\;\;\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b .\)

Khi đó ta có: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC.\)

Lại có: \(\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| = a + b = AB + BC.\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)\( \Leftrightarrow AC = AB + BC\)

\( \Leftrightarrow A, \, \, B,\, \, C\) thẳng hàng và \(B\) nằm giữa \(A, \, \, C\) hay  \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \) cùng hướng.

Vậy  \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |+ \left | \overrightarrow{b} \right |\) khi hai vectơ \(\overrightarrow{a}, \, \, \overrightarrow{b}\) cùng hướng.

b) Xét \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |= \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |.\)

Tương tự câu a ta có: \( \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC.\)

Ta có: \(\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DB} \) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB.\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| \)\(\Leftrightarrow AC = DB.\)

Khi đó hình bình hành \(ABCD\)  là hình chữ nhật \(\Rightarrow AD \perp AB\)  hay \(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}.\)