Bài 7 trang 12 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ khác$\overrightarrow{0}$. Khi nào có đẳng thức

a) $\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |$ + $\left | \overrightarrow{b} \right |$;

b)  $\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |= \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |$.

Hướng dẫn giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý $A, \, \, B, \, \, C$ ta luôn có:

$+ )\;\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc ba điểm).

$+ )\;\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}$ (quy tắc trừ).

Lời giải chi tiết

a) Xét:  $\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |$ + $\left | \overrightarrow{b} \right |$

Giả sử hình bình hành $ABCD$ có các kích thước $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow a ,\;\;\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b .$

Khi đó ta có: $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC.$

Lại có: $\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| = a + b = AB + BC.$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|$$\Leftrightarrow AC = AB + BC$

$\Leftrightarrow A, \, \, B,\, \, C$ thẳng hàng và $B$ nằm giữa $A, \, \, C$ hay  $\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b$ cùng hướng.

Vậy  $\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |+ \left | \overrightarrow{b} \right |$ khi hai vectơ $\overrightarrow{a}, \, \, \overrightarrow{b}$ cùng hướng.

b) Xét $\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |= \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |.$

Tương tự câu a ta có: $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC.$

Ta có: $\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DB}$ $\Rightarrow \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB.$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|$$\Leftrightarrow AC = DB.$

Khi đó hình bình hành $ABCD$  là hình chữ nhật $\Rightarrow AD \perp AB$  hay $\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}.$