Bài 64 trang 92 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Trên đường tròn bán kính \(R\) lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm \(A\), ba cung \(\overparen{AB}\), \(\overparen{BC}\), \(\overparen{CD}\) sao cho: \(sđ\overparen{AB}\)=\(60^0\), \(sđ\overparen{BC}\)=\(90^0\), \(sđ\overparen{CD}\)=\(120^0\)

a) Tứ giác \(ABCD\) là hình gì?

b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác \(ABCD\) vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác \(ABCD\) theo \(R\).

Hướng dẫn giải

+) Dựa vào các dấu hiệu nhận biết của các hình tứ giác đặc biệt và các tứ giác nào có thể nội tiếp đường tròn để chứng minh tứ giác ABCD là hình gì.

+) Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.

+) Số đo của góc có đỉnh nằm trong đường tròn bằng nửa số đo của tổng hai cung bị chắn.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\widehat {BA{\rm{D}}} = {{{{90}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {105^0}\) (góc nội tiếp chắn \(\overparen{BCD}\))     (1)

\(\widehat {A{\rm{D}}C} = {{{{60}^0} + {{90}^0}} \over 2} = {75^0}\) ( góc nội tiếp chắn\(\overparen{ABC}\) )          (2)

Từ (1) và (2) có:

\(\widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}C} = {105^0} + {75^0} = {180^0}\) (3)

\(\widehat {BA{\rm{D}}}\) và \(\widehat {A{\rm{D}}C}\) là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến \(AD\) và hai đường thẳng \(AB, CD.\)

Đẳng thức (3) chứng tỏ \(AB // CD\). Do đó tứ giác \(ABCD\) là hình thang, mà hình thang nội tiếp là hình thang cân. 

Vậy \(ABCD\) là hình thang cân (\(BC = AD\) và \(sđ\overparen{BC}\)=\(sđ\overparen{AD}\)=\(90^0\))

b) Giả sử hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(I\).

\(\widehat {CI{\rm{D}}}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên:

\(\widehat {CI{\rm{D}}}\) = \(\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{CD}}{2}\)=\({{{{60}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {90^0}\)

Vậy \(AC \bot BD.\)

c) Vì \(sđ\overparen{AB}= 60^0\) nên \(\widehat {AOB} = {60^0}\) (góc ở tâm)

\(=> ∆AOB\) đều, nên \(AB = OA = OB = R.\)

Vì  \( sđ \overparen{AB} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BOC} = {90^0}\) (góc ở tâm)

\(\Rightarrow BC = \sqrt{OB^2+OC^2}=R\sqrt2.\)

Kẻ \(OH \bot CD.\)

Tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân \(\Rightarrow \widehat{BCD}=\widehat{ADC}=75^0.\)

Lại có \(\Delta BOC\) vuông cân tại \(O \Rightarrow \widehat{BCO}=45^0.\)

\(\Rightarrow \widehat{OCD}=\widehat{BCD}-\widehat{BCO}=75^0-45^0=30^0.\)

Xét \(\Delta OCH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(HC=OC.cos \widehat{OCH}=\frac{R\sqrt{3}}{2}.\)

Mà \(H\) là trung điểm của \(CD\) (định lý đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy).

\(\Rightarrow CD=2.CH=\sqrt3.\)