Bài 63 trang 123 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Bài 63. Giải các phương trình sau:

$\eqalign{ & a)\,{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{2x}} = 2 - \sqrt 3 ; \cr & c)\,{2.3^{x + 1}} - {6.3^{x - 1}} - {3^x} = 9; \cr}$     

$\eqalign{ & b)\,{2^{{x^2} - 3x + 2}} = 4; \cr & d){\log _3}\left( {{3^x} + 8} \right) = 2 + x. \cr}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 1$ nên $2 - \sqrt 3  = {1 \over {2 + \sqrt 3 }} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 1}}$
Do đó ${\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{2x}} = 2 - \sqrt 3  \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{2x}} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow 2x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - {1 \over 2}$
Vậy tập nghiệm phương trình là $S = \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}$
b)

${2^{{x^2} - 3x + 2}} = 4 \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 3x + 2}} = {2^2} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = 3 \hfill \cr} \right.$

Vậy $S = \left\{ {0;3} \right\}$
c)

$\eqalign{ & {2.3^{x + 1}} - {6.3^{x - 1}} - {3^x} = 9 \Leftrightarrow {6.3^x} - {6 \over 3}{.3^x} - {3^x} = 9 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {3.3^x} = 9 \Leftrightarrow {3^x} = 3 \Leftrightarrow x = 1 \cr}$

vậy $S = \left\{ 1 \right\}$
d)

$\eqalign{ & {\log _3}\left( {{3^x} + 8} \right) = 2 + x \Leftrightarrow {3^x} + 8 = {3^{2 + x}} \Leftrightarrow {3^x} + 8 = {9.3^x} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {8.3^x} = 8 \Leftrightarrow {3^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0 \cr}$

Vậy  $S = \left\{ 0 \right\}$