Bài 60 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Giải các hệ phương trình

a)

$\left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} + xy = 7 \hfill \cr {x^2} + {y^2} - xy = 3 \hfill \cr} \right.$

b)

$\left\{ \matrix{ 2{(x + y)^2} - xy = 1 \hfill \cr {x^2}y + x{y^2} = 0 \hfill \cr} \right.$

Hướng dẫn giải

a) Đặt $S = x + y; P = xy$. Ta có:

$\left\{ \matrix{ {S^2} - 2P + P = 7 \hfill \cr {S^2} - 2P - P = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {S^2} - P = 7 \hfill \cr {S^2} - 3P = 3 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ S = \pm 3 \hfill \cr P = 2 \hfill \cr} \right.$ 

+ Với $S = 3; P = 2$ thì x, y là nghiệm của phương trình:

${X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ X = 1 \hfill \cr X = 2 \hfill \cr} \right.$

Ta có nghiệm $(1, 2); (2, 1)$

+ Với $S = -3, P = 2$, ta có nghiệm $(-1, -2); (-2, -1)$

Vậy hệ có 4 nghiệm là: $(1, 2); (2, 1); (-1, -2); (-2, -1)$

b) Đặt $S = x + y; P = xy$, ta có:

$\left\{ \matrix{ 2{S^2} - P = 1 \hfill \cr SP = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ S = 0 \hfill \cr P = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ S = \pm {1 \over {\sqrt 2 }} \hfill \cr P = 0 \hfill \cr} \right.$

+ Với $S = 0; P = -1$ thì x, y là nghiệm phương trình

${X^2} – 1 = 0 ⇔ X = ± 1$, ta có nghiệm $(1, -1); (-1, 1)$

+ Với $S =  \pm {1 \over {\sqrt 2 }} ; P = 0$, ta có nghiệm: $(0,\,{1 \over {\sqrt 2 }});\,({1 \over {\sqrt 2 }},0);\,(0,\, - {1 \over {\sqrt 2 }});\,( - {1 \over {\sqrt 2 }},0)$