Bài 6 trang 127 SGK Hình học 10 nâng cao

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(3, 4); B( 6, 0)

a) Nhận xét gì về tam giác OAB ? Tính diện tích của tam giác đó.

b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.

c) Viết phương trình đường phân giác trong tại đỉnh O của tam giác OAB.

d) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

Hướng dẫn giải

a) Ta có\(OA = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\,\,\,;\,\,\,OB = \sqrt {{6^2} + 0}  = 6\,\,;\)

\(AB = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\,\)

Tam giác OAB cân tại A. Gọi I là trung điểm của OB ta có I(3, 0) và \(AI = \sqrt {{{(3 - 3)}^2} + {{(0 - 4)}^2}}  = 4\) .

Diện tích tam giác OAB bằng \(S = {1 \over 2}.AI.OB = {1 \over 2}.4.6 = 12\) .

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB có dạng

\((C):\,{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\)                     

Vì \(O\,,\,A\,,\,B\,\, \in \,\,(O)\) nên 

\(\left\{ \matrix{
c = 0 \hfill \cr
9 + 16 + 6a + 8b + c = 0 \hfill \cr
36\,\,\,\,\,\,\,\, + 12a\,\,\,\,\,\,\,\,\, + c = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \matrix{
a = - 3 \hfill \cr
b = - {7 \over 8} \hfill \cr
c = 0 \hfill \cr} \right.\)

Vậy  \((C)\,:\,{x^2} + {y^2} - 6x - {7 \over 4}y = 0\)  .

c) Phương trình đường thẳng \(OA\,:\,\,\,{x \over 3} = {y \over 4}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,4x - 3y = 0\)

Phương trình đường thẳng \(OB\,:\,\,\,y = 0\)

Phương trình các đường phân giác tại đỉnh O của tam  giác OAB là:

\(\eqalign{
& {{4x - 3y} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \pm {y \over 1}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \matrix{
4x - 3y = 5y\,\,\,\,\,\,\,({d_1}) \hfill \cr
4x - 3y = - 5y\,\,\,\,({d_2}) \hfill \cr} \right. \cr
&  \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \matrix{
4x - 8y = 0 \hfill \cr
4x + 2y = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \matrix{
x - 2y = 0 \hfill \cr
2x + y = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \) 

Với \({d_1}:x - 2y = 0\,\,\) ta có \(({x_A} - 2{y_A})({x_B} - 2{y_B}) =  - 5.6 =  - 30 < 0\) . Vậy A và B khác phía đối với d₁ , do đó d₁ là đường phân giác trong góc O của tam giác OAB.

d) Vì tam giác OAB cân tại A nên AI là phân giác trong góc A của tam giác OAB  , ta có \(\overrightarrow {AI}  = (0\,;\, - 4)\) nên x = 3 là phương trình đường thẳng AI.

Tọa độ tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác OAB là nghiệm hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
x - 2y = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
y = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(J\left( {3\,;\,{3 \over 2}} \right)\) .

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB   là

\(r = d(J,\,AO) = {{\left| {4.3 - 3.{3 \over 2}} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {3 \over 2}\)               

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp của tam giác OAB là \({(x - 3)^2} + {\left( {y - {3 \over 2}} \right)^2} = {9 \over 4}\)