Bài 6 trang 100 SGK Hình học 12

Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S)\) có phương trình \({x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} = {\rm{ }}4{a^{2}}\left( {a > 0} \right)\).

a) Tính diện tích mặt cầu \((S)\) và thể tích của khối cầu tương ứng.

b) Mặt cầu \((S)\) cắt mặt phẳng \((Oxy)\) theo đường tròn \((C)\). Xác định tâm và bán kính của \((C)\).

c) Tính diện tích xung quanh của hình trụ nhận \((C)\) làm đáy và có chiều cao là \(a\sqrt3\). Tính thể tích của khối trụ tương ứng.

Hướng dẫn giải

a) Xác định tâm và bán kính \(R\) của mặt cầu, sử dụng các công thức tính diện tích và thể tích khối cầu: \(S = 4\pi {R^2};\,\,V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\)

b) Phương trình đường tròn \((C)\), giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng \(Oxy\) là:\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4{a^2} \hfill \cr z = 0 \hfill \cr} \right.\). Suy ra tâm và bán kính của đường tròn đó.

c) Sử dụng các công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ: \({S_{xq}} = 2\pi rh;\,\,V = \pi {r^2}h\), trong đó \(r;h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.

Lời giải chi tiết

a) Mặt cầu \((S)\) có tâm là gốc toạ độ \(O\) và bán kính \(R = 2a\) nên có

\(S = 16πa^2\) ; \(V ={{32\pi {a^2}} \over 3}\)

b) Phương trình đường tròn \((C)\), giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng \(Oxy\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4{a^2}\\z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 4{a^2}\\z = 0\end{array} \right.\)

Từ đây suy ra mặt phẳng \(z = 0\) cắt mặt cầu theo đường tròn \((C)\) có tâm là gốc toạ độ \(O\) và bán kính là \(2a\).

c) Hình trụ có đáy là đường tròn \((C)\) và chiều cao \(a\sqrt3\) có:

\(S_{xq} = 2π.(2a).a\sqrt3\)   \( \Rightarrow  S_{xq}= 4πa^2\sqrt3\)

\(V = π(2a)^2.a\sqrt3\)        \( \Rightarrow  V = 4πa^3\sqrt3\)