Bài 4 trang 148 SGK Đại số 10

Đề bài

Tính các giá trị lượng giác của góc \(α\), nếu:

a) \(\cosα = \frac{4}{13}\) và \(0 < α < \frac{\pi }{2}\);            

b) \(\sinα = -0,7\) và \(π < α <  \frac{3\pi }{2}\);

c) \(\tan α =  -\frac{15}{7}\) và \( \frac{\pi }{2} < α < π\);          

d) \(\cotα = -3\) và \( \frac{3\pi }{2} < α < 2π\).

Hướng dẫn giải

Áp dụng các công thức: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1,\;\;\tan \alpha .\cot \alpha  = 1,\) \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }},\;\;\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\)

Lời giải chi tiết

a) Do \(0 < α <  \frac{\pi}{2}\) nên \(\sinα > 0, \, \tanα > 0, \) \( \cotα > 0.\)

\(\sinα =  \sqrt{1-(\frac{4}{13})^{2}}=\frac{\sqrt{153}}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{13}\)

\(\cotα =  \frac{4}{13}:\frac{3\sqrt{17}}{13}=\frac{4\sqrt{17}}{51}\); \(\tanα = \frac{3\sqrt{17}}{4}\)

b) \(π < α <  \frac{3\pi }{2}\) nên \(\sinα < 0, \cosα < 0, \)\(\tanα > 0, \cotα > 0\)

\(\cosα = -\sqrt{(1 - sin^2 α)} = \)\(-\sqrt{(1 - 0,49) }= -\sqrt{0,51} ≈ -0,7141\)

 \(\tanα ≈ 0,9802; \cotα ≈ 1,0202\).

c) \( \frac{\pi }{2} < α < π\) nên \(\sinα > 0, \cosα < 0,\)\( \tanα < 0, \cotα < 0 \)

\(\cosα = -\sqrt{\frac{1}{1+tan^{2}\alpha }}=-\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{15}{7})^{2}}}\)\(=-\frac{7}{274}≈ -0,4229\).

\(\sinα =  \sqrt{\frac{1}{1+cot^{2}\alpha }}=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{7}{15})^{2}}}=\frac{15}{\sqrt{274}}\)\(=0,9062\)

\(\cotα = - \frac{7}{15}\) 

d) Vì \( \frac{3\pi}{2} < α < 2π\) nên \(\sinα < 0, \cosα > 0,\)\( \tanα < 0, \cotα < 0\)

Ta có: \(\tanα =  \frac{1}{\cot\alpha }=-\frac{1}{3}\)