Bài 34 trang 128 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho một hình chữ nhật. Vẽ tứ giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật . Vì sao tứ giác này là một hình thoi? So sánh diện tích hình thoi và diện tích hình chữ nhật, từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi.

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác, công thức tính diện tích hình chữ nhật, diện tích hình thoi.

Lời giải chi tiết

Vẽ hình chữ nhật \(ABCD\) với các trung điểm các cạnh \(M, N, P, Q.\)

Vẽ tứ giác \(MNPQ\)

Ta có MN = PQ  = \(\frac{1}{2}\)BD (tính chất đường trung bình của tam giác)

           NP = MQ = \(\frac{1}{2}\) AC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mà AC = BD (tính chất hình chữ nhật) nên suy ra MN = PQ = NP = MQ.

Nên tứ giác \(MNPQ\) là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau ()dấu hiệu nhận biết hình thoi)

Dễ dàng chứng minh rằng : ∆AMN = ∆INM , ∆BPN = ∆NIP, ∆PCQ = ∆IQP, ∆DMQ = ∆IQM

\( \Rightarrow {S_{AMN}} = {S_{INM}},{S_{BPN}} = {S_{NIP}},\)\({S_{PCQ}} = {S_{IQP}},{S_{DMQ}} = {S_{IQM}}\)

Ta có: 

\({S_{MNPQ}} = {S_{MNI}} + {S_{NIP}} + {S_{IPQ}} \)\(+ {S_{MQI}}\)

\(\begin{array}{l}
= {S_{AMN}} + {S_{BNP}} + {S_{IPC}} + {S_{MQD}}\\
= \frac{1}{2}{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{2}.AB.C{\rm{D}} \\= \frac{1}{2}.MP.NQ
\end{array}\)

Vậy S_MNPQ =  \(\frac{1}{2}\) MP.NQ