Bài 3 trang 25 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\). Tính tỉ số thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện \(ACB’D’\).

Hướng dẫn giải

+) Gọi \(S\) là diện tích đáy \(ABCD\) và \(h\) là chiều cao của khối hộp. Tính thể tích của khối hộp.

+) Chia khối hộp thành khối tứ diện \(ACB’D’\) và bốn khối chóp \(A.A’B’D’, C.C’B’D’, B’.BAC\) và \(D’. DAC\). Tính thể tích của bốn khối chóp \(A.A’B’D’, C.C’B’D’, B’.BAC\) và \(D’. DAC\).

+) Suy ra \({V_{ACB'D'}} = V - \left( {{V_{A.A'B'D'}} + {V_{C.C'B'D'}} + {V_{B'BAC}} + {V_{D'.DAC}}} \right)\).

+) Tính tỉ số thể tích.

Lời giải chi tiết

Gọi \(S\) là diện tích đáy \(ABCD\) và \(h\) là chiều cao của khối hộp thì thể tích của khối hộp: \( \Rightarrow V = S.h\)

Chia khối hộp thành khối tứ diện \(ACB’D’\) và bốn khối chóp \(A.A’B’D’, C.C’B’D’, B’.BAC\) và \(D’. DAC\).

Xét khối chóp \(A.A'B'D'\) có diện tích đáy \({S_{A'B'D'}} = \frac{S}{2}\) và chiều cao bằng \(h\). Do đó \({V_{A.A'B'D'}} = \frac{1}{3}.\frac{S}{2}.h = \frac{{S.h}}{6}\).

Tương tự như vậy ta chứng minh được: \({V_{A.A'B'D'}} = {V_{C.C'B'D'}} = {V_{B'BAC}} = {V_{D'.DAC}} = \frac{{S.h}}{6}\).

Vậy \({V_{ACB'D'}} = V - \left( {{V_{A.A'B'D'}} + {V_{C.C'B'D'}} + {V_{B'BAC}} + {V_{D'.DAC}}} \right)\)

                      \(= S.h - 4.\frac{{S.h}}{6} = \frac{{S.h}}{3}\).

\( \Rightarrow \frac{V}{{{V_{ACB'D'}}}} = \frac{{S.h}}{{\frac{1}{3}S.h}} = 3\)