Bài 18 trang 75 SGK Toán 8 tập 1
Đề bài
Chứng minh định lí "Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân" qua bài toán sau: Cho hình thang ABCD \(\left( {AB//C{\rm{D}}} \right)\) có AC = BD.
Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại E. Chứng mình rằng:
a) ∆BDE là tam giác cân.
b) ∆ACD = ∆BDC.
c) Hình thang ABCD là hình thang cân.
Hướng dẫn giải
Áp dụng: Tính chất hình thang cân, tính chất tam giác cân, dấu hiệu nhận biết hình thang cân.
Lời giải chi tiết
a) E thuộc đường thẳng DC nên CE // AB.
Hình thang ABEC (AB // CE) có hai cạnh bên AC, BE song song (gt) nên \( \Rightarrow AC = BE\) (1) (tính chất hình thang )
Lại có: AC = BD (gt) (2)
Từ (1) và (2) suy ra BE = BD \( \Rightarrow \Delta BED\) cân tại B (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).
b) Ta có \(AC{\rm{ }}//{\rm{ }}BE \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat E\) (2 góc đồng vị) (3)
∆BDE cân tại B (cmt) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat E\) (4)
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{C_1}}\)
Xét ∆ACD và ∆BCD có:
AC = BD (gt)
= (cmt)
CD chung
Nên ∆ACD = ∆BDC (c.g.c)
c) Ta có: ∆ACD = ∆BDC (cmt)
\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BCD}\) (2 góc tương ứng)
Hình thang ABCD có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.