Bài 10 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao

Đề bài

Bài 10. Cho hai điểm \(M, N\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AM, BN\).

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} \,\,;\,\,\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI}.\)

b) Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI}  + \,\,\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} \) theo \(R\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(\overrightarrow {AM} .\,\overrightarrow {AI}  = (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} ).\,\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BM} .\,\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AI} \) ( vì \(\overrightarrow {BM} .\,\overrightarrow {AI}  = 0\) ).

Tương tự, \(\overrightarrow {BN} .\,\overrightarrow {BI}  = (\overrightarrow {BA}  + \,\overrightarrow {AN} ).\,\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BI}  + \overrightarrow {AN} .\,\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BI} \) ( vì \(\overrightarrow {AN} .\,\overrightarrow {BI}  = 0\) ).

b)  Theo câu a), \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} \, + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI} \)

\( = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AI}  - \overrightarrow {BI} ) = \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AB}  = A{B^2} = 4{R^2}.\)