Tổng hợp công thức về nguyên hàm đầy đủ dễ hiểu nhất

Lý thuyết về nguyên hàm là một học phần quan trọng trong chương trình học giải tích lớp 12. Để làm tốt các bài tập liên quan thì đòi hỏi chúng ta cần phải ghi nhớ chính xác bộ công thức nguyên hàm và có khả năng tư duy tốt. Thấu hiểu được nhu cầu đó, chúng tôi mong muốn được cung cấp cho bạn học bộ công thức đầy đủ, chi tiết nhất về nguyên hàm. Hy vọng nó sẽ giúp ích cho bạn! 

I. Định nghĩa nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số thực cho trước f là một hàm F có đạo hàm bằng f, nghĩa là, F′ = f. Quá trình tìm nguyên hàm được gọi là tích phân bất định. Tìm một biểu thức cho nguyên hàm là công việc khó hơn so với việc tìm đạo hàm, và không phải luôn luôn thực hiện được.

Tuy nhiên, bất kỳ hàm số liên tục trên đoạn hay khoảng từ giá trị a đến b, thì đều tồn tại nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn/khoảng từ a đến b nêu trên.

Nguyên hàm được liên hệ với tích phân thông qua định lý cơ bản của giải tích, cung cấp một phương tiện tiện lợi để tính toán tích phân của nhiều hàm số.

II. Các công thức nguyên hàm cơ bản

Bảng nguyên hàm cơ bản thường gặp nhất

\(\int0.dx=C\)	\(\int a^xdx=\dfrac{a^x}{lna}+C\) \(\int a^{u(x)}du(x)=\dfrac{a^{u(x)}}{lna}+C\)
\(\int dx=x+C\)	\(\int cosxdx=sinx+C\) \(\int cosu(x)du(x)=sinu(x)+C\)
\(\int x^adx=\dfrac{x^a+1}{a+1}+C\)(a # -1) \(\int u(x)^adu(x)=\dfrac{u(x)^a+1}{a+1}+C\)(a # -1)	\(\int sinxdx=-cosx+C\) \(\int sinu(x)du(x)=cosu(x)+C\)
\(\int\dfrac{dx}{x}=ln|x|+C\) \(\int\dfrac{du(x)}{u(x)}=ln|u|+C\)	\(\int \dfrac{1}{cos^2x}dx=tanx+C\) \(\int \dfrac{1}{cos^2u(x)}du(x)=tanu(x)+C\)
\(\int e^xdx=e^x+C\) \(\int e^{u(x)}du(x)=e^{u(x)}+C\)	\(\int \dfrac{1}{sin^2x}dx=-cotx+C\) \(\int \dfrac{1}{sin^2u(x)}du(x)=-cotu(x)+C\)

III. Nguyên hàm lượng giác

Bao gồm các công thức về nguyên hàm của sinx, nguyên hàm của cosx, nguyên hàm của tanx, nguyên hàm của cotx,...

\(\int cos(ax+b)dx= \dfrac{1}{a}sinx(ax+b)+c\)

\(\int sin(ax+b)dx= \dfrac{-1}{a}cosx(ax+b)+c\)

\(\int tan(ax+b)dx= \dfrac{-1}{a}ln|cos(ax+b)|+c\)

\(\int cot(ax+b)dx= \dfrac{1}{a}ln|sin(ax+b)|+c\)

\(\int \dfrac{dx}{sin^2(ax+b)}=\dfrac{-1}{a}cot(ax+b)+c\)

\(\int \dfrac{dx}{cos^2(ax+b)}=\dfrac{1}{a}tan(ax+b)+c\)

\(\int arcsin\dfrac{x}{a}dx=xarcsin\dfrac{x}{a}+\sqrt{a^2-x^2}+c\)

\(\int arccos\dfrac{x}{a}dx=xarccos\dfrac{x}{a}-\sqrt{a^2-x^2}+c\)

\(\int arctan \dfrac{x}{a}dx= xarctan\dfrac{x}{a}-\dfrac{a}{2}ln(a^2+x^2)+c\)

\(\int arccot \dfrac{x}{a}dx= xarccot\dfrac{x}{a}+\dfrac{a}{2}ln(a^2+x^2)+c\)

\(\int \dfrac{dx}{sin(ax+b)}=\dfrac{1}{a}ln|tan\dfrac{ax+b}{2}|+c\)

\(\int \dfrac{dx}{sin(ax+b)}=\dfrac{1}{a}ln|tan\dfrac{ax+b}{2}|+c\)

\(\int e^{ax}cosbxdx=\dfrac{e^{ax}(acosbx+bsinbx}{a^2+b^2}+c\)

IV. Nguyên hàm từng phần

Công thức nguyên hàm từng phần: \(I=\int udv=uv-\int vdu\)

Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần có dạng \(\int f(x).g(x)dx\) trong đó f(x) và g(x) là hai trong bốn loại hàm sau đây: đa thức, lượng giác, mũ, loga.

Thứ tự ưu tiên chọn u: \( Logarit \rightarrow\)Đa thức\(\rightarrow \)Lượng giác = Mũ

V. Cách bấm máy tính nguyên hàm

Dạng 1: Cho hàm số f(x) và các hàm số \(F_i(x)\), hãy xác định một trong các hàm số \(F_i(x)\) là một nguyên hàm của hàm số f(x)

Cú pháp: \(f(A)-\dfrac{d}{dx}(F_i(x))|_{x=A}\)

Dạng 2: Cho hàm số f(x) và các hàm số \(F_i(x)\), hãy xác định một trong các hàm số \(F_i(x)\) là một nguyên hàm của hàm số f(x), sao cho \(F_{(x)}0\) = C

Cú pháp: \(F_i(A)-C-\int\limits_{x_0}^A f(x) dx\)

Dạng 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Hãy xác định tích phân của hàm số y = f(x)  trên đoạn [a;b].

Cú pháp: \(\int\limits_{a}^b f(x)dx\)

Dạng 4: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Cho (H) là hình phẳng được giới hạn bởi y = f(x); y = 0; x = a; x = b.

Cú pháp: \(S_H=\int\limits_{a}^b|f(x)|dx\)

\(V_{ax}\int\limits_{a}^b (f(x))^2dx\)

VI. Mẹo nhớ các công thức về nguyên hàm

Để học tốt phần này, mọi người cần chuẩn bị cho mình một số kiến thức như:

• Đạo  hàm, vi phân. Cần phải phân biệt rõ ràng đạo hàm của hàm sơ cấp, đạo hàm hàm hợp. Các bạn có thể tham khảo thêm bản tổng hợp các công thức cần thiết tại 

Khái niệm đạo hàm

Các quy tắc tính đạo hàm

Đạo hàm các hàm số lượng giác

Vi phân

• Tránh nhầm lẫn trong các công thức nguyên hàm của các hàm lượng giác, tham khảo thêm tại Các nguyên hàm thường gặp
• Ngoài ra, biện pháp tốt nhất là các bạn nên có sự đầu tư thời gian vào luyện các bài tập nguyên hàm để trau dồi thêm kỹ năng làm bài cũng như luyện nhớ công thức. Chúng tôi đã tổng hợp các  bài tập liên quan đến nguyên hàm và có lời giải chi tiết tại Ôn tập chương III - Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Toán lớp 12 Nâng cao.
• Bởi vì khối lượng công thức về nguyên hàm khá là nhiều và phức tạp chính vì vậy sau các buổi học trên lớp, các bạn nên về nhà làm bài tập để củng cố kiến thức ngay. Vì công thức liên quan đến nguyên hàm hay tích phân được đánh giá là khó nhớ.
• Sách tham khảo lời giải cũng là một sự lựa chọn ưa thích nếu các bạn gặp phải các bài toán hóc búa, đòi hỏi sự tư duy. Bên cạnh đó, việc tham khảo ý kiến thầy cô cũng là một phương pháp học rất tốt, vì vậy các bạn nên dẹp đi sự e ngại để chủ động hỏi ý kiến thầy cô mỗi những khi cần thiết

THAM KHẢO >>> Công thức công phá Toán 12

Để tránh bỡ ngỡ với dạng bài tập mới này, chúng tôi đã giúp các bạn tổng hợp lại hệ thống công thức cần thiết về nguyên hàm. Hy vọng rằng chúng sẽ giúp đỡ bạn nhiều trong học tập. Chúc các bạn thành công!