Toán 10 Các tập hợp số quan trọng

Toán 10 Các tập hợp số quan trọng

Trong bài viết này Cunghocvui sẽ giới thiệu tới các bạn một nội dung học rất quan trọng và bổ ích về Toán 10 bài 4 các tập hợp số!

I. Các tập hợp số thường gặp

1. Tập hợp số tự nhiên

Trong toán học, các số tự nhiên là các số 0, 1, 2, 3, 4, 5,... Nhìn chung, định nghĩa đầu thường được dùng trong lý thuyết số, trong khi định nghĩa sau được thích dùng hơn trong lý thuyết tập hợp và khoa học máy tính.

Số tự nhiên được dùng với hai mục đích chính: chúng có thể được dùng để đếm ("có ba quả táo trên bàn"), và có thể dùng để sắp xếp thứ bậc ("đây là thành phố lớn thứ ba trong cả nước").

Tập hợp số tự nhiên là nền tảng cơ bản để xây dựng nhiều tập hợp số khác: tập hợp số nguyên bao gồm phần tử đơn vị 0 và số đối của mỗi số tự nhiên khác 0; tập hợp số hữu tỉ gồm 0 và thương của 2 số nguyên bất kì khác 0; tập hợp số thực gồm các số hữu tỉ và giới hạn của dãy Cauchy của mỗi số hữu tỷ; tập số phức gồm số thực cùng đơn vị ảo i,...

- Kí hiệu:

Các nhà toán học dùng ký hiệu N cho tập hợp tất cả các số tự nhiên. Theo định nghĩa, tập hợp vô hạn và đếm được, tức lực lượng của tập hợp số tự nhiên là ℵ0

Ký hiệu N hoa hai gạch được dùng để chỉ tập hợp số tự nhiên (xem danh sách ký hiệu toán học)

• ℕ = ℕ0 = {0, 1, 2, …}
• ℕ* = ℕ1 = ℕ>0 = {1, 2, …}

- Các tiên đề Peano:

• Có một số tự nhiên 0

• Với mọi số tự nhiên a, tồn tại một số tự nhiên liền sau, ký hiệu là S(a).

• Không có số tự nhiên nào mà số liền sau của nó là 0.

• Hai số tự nhiên khác nhau phải có hai số liền sau tương ứng khác nhau: nếu a ≠ b thì S(a) ≠ S(b).

• Nếu có một tính chất nào đó được thỏa mãn với số 0, và chúng ta chứng minh được rằng với mọi số tự nhiên thỏa tính chất đó thì số liền sau của nó cũng thỏa tính chất đó, khi đó, tính chất đó được thỏa mãn với mọi số tự nhiên. (Định đề này đảm bảo rằng phép quy nạp toán học là đúng.)

2. Tập hợp số nguyên

Trong toán học, số nguyên bao gồm các số nguyên dương (1, 2, 3,…), các số nguyên âm (−1, −2, −3,...) và số 0. Phát biểu một cách hình thức như sau: các số nguyên là miền xác định nguyên duy nhất mà các phần tử dương của nó được sắp thứ tự tốt  và các thứ tự đó được bảo toàn dưới phép cộng. Cũng như số tự nhiên, các số nguyên hợp thành một tập vô hạn đếm được.

Tập hợp gồm tất cả các số nguyên thường được ký hiệu bằng chữ Z in đậm.

- Biểu diễn số nguyên:

+ Số nguyên âm có thể được biểu diễn trên tia đối của tia số, gọi là trục số. Điểm 0 được gọi là điểm gốc của trục số. Trục số có thể được vẽ theo hướng ngang (nằm) hoặc hướng dọc (đứng).

+ Khi vẽ trục số ngang, chiều từ trái sang phải gọi là chiều dương (thường được đánh dấu bằng mũi tên), chiều từ phải sang trái gọi là chiều âm.

+ Tương tự như vậy, khi vẽ trục số dọc, chiều từ dưới lên trên gọi là chiều dương (cũng được đánh dấu bằng mũi tên), chiều từ trên xuống dưới gọi là chiều âm.

- Số đối:

• Số đối của 1 là −1

• Số đối của 2 là −2

• Trường hợp đặc biệt: Số đối của 0 là 0

3. Tập hợp số thực

- Trong toán học, một số thực là một giá trị của một đại lượng liên tục có thể biểu thị một khoảng cách dọc theo một đường thẳng.

- Các số thực có thể được coi là các điểm trên một dòng dài vô hạn gọi là trục số, trong đó các điểm tương ứng với các số nguyên cách đều nhau. Bất kỳ số thực nào cũng có thể được xác định bằng cách biểu diễn thập phân vô hạn, chẳng hạn như số 8.632, trong đó mỗi chữ số liên tiếp được tính bằng một phần mười giá trị của số trước.

- Trục số thực có thể được coi là một phần của mặt phẳng phức và các số phức cũng bao gồm các số thực.

- Tập hợp tất cả các số thực là không thể đếm được, nghĩa là: trong khi tập hợp tất cả các số tự nhiên và các tập hợp của tất cả các số thực đều là các tập hợp vô hạn, không thể có hàm đơn ánh từ những số thực tới các số tự nhiên.

- Các phép toán

• Phép cộng: Trên R, phép cộng được xây dựng bởi ánh xạ sau:

\({\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,\mapsto \,\mathbb {R} }\): Phép cộng là đóng trên R

\({\displaystyle \left(a,\,b\right)\,\mapsto \,a+b}\)

Sao cho:

• \({\displaystyle \forall \,\,a\,\in \,\mathbb {R} :a+0=a}\)

• \({\displaystyle \forall \,\,a,\,b\,\in \,\mathbb {R} :a+b=\left(a+b\right)}\)

Có thể thấy phép cộng xác định như trên là tồn tại và duy nhất.

Ngoài ra, ta còn có thể chứng minh được rằng:

• \({\displaystyle \forall \,\,a,\,b\,\in \,\mathbb {R} :a+b=b+a}\)

• \({\displaystyle \forall \,\,a,\,b,\,c\,\in \,\mathbb {R} :\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)}\)

• \({\displaystyle \forall \,\,a,\,b,\,c\,\in \,\mathbb {R} :a+c=b+c\,\Rightarrow \,a=b}\)

Giá trị tuyệt đối của số thực a là khoảng cách từ điểm a đến 0 trên trục số thực và kí hiệu là |a|.(Đọc là: Giá trị tuyệt đối của a).Lưu ý: Giá trị tuyệt đối của số thực a luôn được kết quả là một số dương.

Tập hợp số thực là tập hợp con của số phức \({\displaystyle x=a+bi}\), khi hệ số b=0

- Các tập hợp con trên Tập hợp các số thực

Khoảng: \({\displaystyle x=a+bi}\)

Ví dụ: \({\displaystyle x\in \mathbb {N} ^{*}\Leftrightarrow \,x\in \left(0,\,\infty \right)}\)

Đoạn: \({\displaystyle {\text{A}}=\left[3,\,5\right]\,\Leftrightarrow \,{\text{A}}=\left\{x\mid 3\leq x\leq 5\right\}}\)

Nửa khoảng: \({\displaystyle x\in \mathbb {N} \,\Leftrightarrow \,x\in \left[0,\,\infty \right)}\)

Chú ý: ∞ đọc là vô cực.

Giải bài tập toán 10 các tập hợp số

II. Bài tập vận dụng

Bài 1. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số

a) [-3;1) ∪ (0;4];

b) (0; 2] ∪ [-1;1);

c) (-2; 15) ∪ (3; +∞);

d) (-1; 4/3) ∪ [-1; 2)

e) (-∞; 1) ∪ (-2; +∞).

Hướng dẫn giải:

a) [-3;1) ∪ (0;4] = [-3; 4]

b) (0; 2] ∪ [-1;1) = [-1; 2]

c) (-2; 15) ∪ (3; +∞) = (-2; +∞)

d) (-1; 4/3) ∪ [-1; 2)=(-1; 2)

e) (-∞; 1) ∪ (-2; +∞)= (-∞; +∞)

Bài 2. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số

a) (-12; 3] ∩ [-1; 4];

b) (4, 7) ∩ (-7; -4);

c) (2; 3) ∩ [3; 5);

d) (-∞; 2] ∩ [-2; +∞).

Hướng dẫn giải:

a) (-12; 3] ∩ [-1; 4] = [-1; 3]

b) (4, 7) ∩ (-7; -4) = Ø

c) (2; 3) ∩ [3; 5) = Ø

d) (-∞; 2] ∩ [-2; +∞)= [-2; 2].

Hy vọng rằng với những kiến thức mới về các dạng toán về tập hợp số lớp 10 trên đây, các bạn hoàn toàn có thể nắm chắc một cách dễ dàng và có những giờ học thư giãn!