Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Trong đại số, dạng toán hệ phương trình là một dạng bài rất quan trọng và bao hàm rất nhiều dạng. Chính vì vậy các bạn học sinh thường dẫn dễ gặp sai lầm khi làm bài hoặc sai sót trong tính toán. Để khắc phục những thiếu xót trong quá trình làm bài chúng tôi đã tổng hợp các phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và dạng bài tập liên quan đến giải hệ phương trình. Hy vọng chúng sẽ giúp ích bạn trong quá trình làm bài!

I. Định nghĩa hệ phương trình

Hình thức tổng quát của hệ phương trình đại số tuyến tính gồm n phương trình tuyến tính với k biến số:

\({\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+...+a_{1,k}x_{k}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+...+a_{2,k}x_{k}=b_{2}\\\vdots \\a_{n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+...+a_{n,k}x_{k}=b_{n}\end{matrix}}\right.}\)

Nếu các biến số của hệ phương trình tuyến tính nằm trong các trường đại số vô hạn (ví dụ số thực hay số phức), thì chỉ có ba trường hợp xảy ra:

hệ không có nghiệm (vô nghiệm)
hệ có duy nhất một nghiệm
hệ có vô số nghiệm

II. Các dạng hệ phương trình cơ bản

1. Hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình có dạng:

\(\left\{\begin{array}{l}a_1x+b_1y=c_1 \\a_2x+b_2y=c_2\end{array}\right.\) { a1X + b1Y = c1 a2X + b2Y = c2

Phương pháp giải

Phương pháp thế. Tư một phương trình ta rút một ẩn theo ẩn kia và thế vào phương trình còn lại.
Phương pháp cộng đại số. Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình một hợp lý để dễ dàng tìm được x hoặc y.
Dùng định thức. Lưu ý : Đôi khi cũng cần một vài biến đổi như đặt ẩn phụ thì hệ mới quy về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Sau đây là một số bài toán. Và thông thường, với một bài toán ta cũng có thể kết hợp vài phương pháp để giải một cách thuận lợi.

2. Hệ phương trình đối xứng

Hệ phương trình có dạng:

Khi tráo đổi vai trò của x và y trong hệ thì từng phương trình không thay đổi. Nếu hệ có \((x_0; y_0)\) là một nghiệm thì \((y_0; x_0) \)cũng là một nghiệm của hệ. Phương pháp tổng quát Đặt \(\left\{\begin{array}{l}S=X+Y\\P=XY\end{array}\right.\) Điều kiện để hệ có nghiệm là \(S^ 2 − 4P ≥ 0.\) Khi tìm được nghiệm S, P thì x, y sẽ là hai nghiệm của phương trình\( t ^2−St+P = 0\). Lưu ý đôi khi ta cũng cần qua một vài biến đổi như đặt ẩn phụ để đưa hệ về dạng đối xứng loại 1.

3. Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh

Dạng 1: Xét hệ phương trình có dạng: \(\left\{\begin{array}{l}f(x_1)=g(x_2) \\f(x_2)=g(x_3)\\...\\f(x_{n-1})=g(x_n)\\f(x_n)=g(x_1)\end{array}\right.\) . Nếu hai hàm số f và g cùng đồng biến trên một tập A và \((x_1; x_2; ...; x_n)\) là nghiệm của hệ phương trình, trong đó \(xi ∈ A, ∀i = 1, 2, .., n\) thì\( x_1 = x_2 = ... = x_n.\) Để chứng minh khẳng định trên, không mất tính tổng quát ta giả sử \(x_1 = min(x_1; x_2; ...; x_n).\) Khi đó ta có \(x_1 ≤ x_2 \leftrightarrow f(x_1) ≤ f(x_2)\). Từ đó \(g(x_2) ≤ g(x_3)\leftrightarrow x_2 ≤ x_3\). Tiếp tục quá trình đó, cuối cùng ta sẽ suy ra \(x_n ≤ x_1\)Tóm lại \(x_1 ≤ x_2 ≤ ... ≤ x_n ≤ x_1\) . Từ đó suy ra \(x_1 = x_2 = ... = x_n.\)

Dạng 2: Xét hệ phương trình có dạng (với n lẻ) \(\left\{\begin{array}{l}f(x_1)=g(x_2) \\f(x_2)=g(x_3)\\...\\f(x_{n-1})=g(x_n)\\f(x_n)=g(x_1)\end{array}\right.\) . Nếu hàm số f nghịch biến trên tập A, g đồng biến trên A và \((x_1; x_2; ...; x_n)\) là nghiệm của hệ phương trình với \(xi ∈ A\) thì \( x_1 = x_2 = ... = x_n.\).

Để chứng minh khẳng định trên, không mất tính tổng quát, giả sử \(x_1 = min(x_1; x_2; ...; x_n).\). Ta có\(x_1 \ge x_2 \leftrightarrow f(x_1) \ge f(x_2)\) hay \(g(x_2) ≥ g(x_1)\). Từ đó \(x_2 ≥ x_3,..\). Tiếp tục như vậy ta sẽ thu được \(f(x_n) ≥ f(x_1)\) hay \(g(x_1) \ge g(x_2)\leftrightarrow x_1 \ge x_2\). Chứng tỏ \( x_1 = x_2\). Tóm lại từ quá trình trên ta suy ra được \(x_1 = x_2 = ... = x_n.\)

4. Hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đại số đẳng cấp bậc hai theo x, y. Dạng tổng quát \(\left\{\begin{array}{l}ax^2+bxy+cy=d \\a'x^2+b'xy+c'y=d'\end{array}\right.\).

Phương pháp tổng quát:

Xét x = 0. Thay vào hệ nếu tìm được y thỏa mãn thì hệ có nghiệm không thì vô nghiệm trong trong trường hợp này.
Xét x # 0.

- Nếu có một trong hai d hoặc d ′ bằng 0, như d = 0 thì ta chia cả hai vế của phương trình thứ nhất cho \(x^2\) , từ đó thu được phương trình có dạng \(A (\dfrac{y}{x} )^2 + B \dfrac{y}{x} + C = 0\) . Giải phương trình này tìm được tỉ số \(\dfrac{y}{x}\), từ đó rút y được theo x, lại thay vào phương trình thứ hai thì tìm được y, từ đó thu được x.

- Nếu cả d và d ′ đều khác 0 thì ta cũng có thể tạo ra một phương trình thuần nhất (hệ số tự do bằng 0) được bằng cách nhân cả hai vế của từng phương trình với hệ số phụ tương ứng của d và d ′ rồi lại trừ từng vế các phương trình thu được.

II. Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

1. Phương pháp thay thế

Phương pháp:

Bước 1. Từ một phương trình của hệ đã cho ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

Bước 2. Giải phương trình một ẩn sau khi được thay thế để tìm nghiệm, sau đó thay lại vào phương trình đầu để tìm nghiệm còn lại.

Ví dụ: Giải hệ phương trình bậc hai 2 ẩn sau bằng phương pháp thay thế?

\(\left\{\begin{array}{l}x-y=3 \\3x-4y=4\end{array}\right.\)

\(\leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=y+3 \\3(y+3)-4y=4\end{array}\right.\)

\(\leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=y+3 \\3y+9-4y=4\end{array}\right.\)

\(\leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=y+3 \\y=5\end{array}\right.\)

\(\leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=8 \\y=5\end{array}\right.\)

Hệ có nghiệm duy nhất là (8 ; 5).

2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp:

Đặt điều kiện để hệ có nghĩa
Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có).
Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt
Trở lại ẩn đac cho để tìm nghiệm của hệ.

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ?

\(\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=2 \\\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{y}=-1\end{array}\right.\)

Điều kiện x # 0 và y # 0.

Đặt \(\dfrac{1}{x}=u;\dfrac{1}{y}=v\), ta có hệ \(\left\{\begin{array}{l}u+v=2 \\3u-4v=-1\end{array}\right.\)

\(\leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}v=2-u \\3u-4(2-u)=-1\end{array}\right.\)

\(\leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}v=2-u \\u=1\end{array}\right.\)

\(\leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}u=1 \\v=1\end{array}\right.\)

Trở lại ẩn x;y ta có: \(\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{x}=1 \\\dfrac{1}{y}=1\end{array}\right.\)\(\leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=1 \\y=1\end{array}\right.\)

Hệ có nghiệm duy nhất là (1 ; 1).

3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Phương pháp:

Bước 1: Cộng hay trừ tằng về hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).

Ví dụ: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn sau?

\(\left\{\begin{array}{l}x-y=2 \\3x+y=2\end{array}\right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta có:

\(\left\{\begin{array}{l}x-y=2 \\3x+y=2\end{array}\right.\)

\(\leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}4x=4 \\3y+y=2\end{array}\right.\)

\(\leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=1 \\y=-1\end{array}\right.\)

Hệ có nghiệm duy nhất là (1 ; -1).

4. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau \(\left\{\begin{array}{l}x^6+y^8+z^{10}=1 (1)\\x^{2013}+y^{2015}+z^{2017}=1 (2)\end{array}\right.\)?

Từ (1) ta có \(−1\le x, y, z \le 1\).

Từ đó ta có \(x^ 6 − x^{ 2013} = x^ 6 (1 − x^{ 2007}) \ge 0 ⇔ x ^6 \ge x^{ 2013}\), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc |x| = 1

\(y ^8 − y ^{2015} = y^ 8 (1 − y^{ 2007}) \ge 0 ⇔ y^8 \ge y ^{2015}\), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y = 0 hoặc |y| = 1

\(z ^{10} − z^{ 2017} = z^ {10}(1 − z^{ 2007}) \ge 0 ⇔ z ^{10} \ge z^{ 2017}\), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = 0 hoặc |z| = 1.

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta suy ra:

\(1 = x^ 6 + y^ 8 + z ^{10} \ge x ^{2013} + y^{ 2015} + z^{ 2017} = 1\)

Do đó dấu đẳng thức phải xảy ra, tức là

\(\left\{\begin{array}{l}x^6(1-x^{2007})=0\\y^8(1-y^{2007}=0\\z^{10}(1-z^{2007})=0\end{array}\right.\). Kết hợp với (1),(2) ta thu được các nghiệm của hệ phương trình là:\((x; y; z) = (1; 0; 0),(0; 1; 0),(0; 0; 1).\)

5. Phối hợp nhiều phương pháp

III. Một số bài tập mẫu tham khảo

Chương học về giải hệ phương trình là một chương học rất quan trọng và mang tính ứng dụng trong các dạng bài tập chứng minh. Chúng tôi đã hệ thống một số dạng bài tập liên quan tại đây, các bạn có thể sử dụng để tham khảo và luyện tập:

Hy vọng rằng thông qua bài đọc này các bạn sẽ hiểu được phần nào về các phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Chúng tôi luôn mong muốn đem đến cho bạn những kiến thức cần thiết và quan trọng nhất, cũng như khắc phục những sai sót từ các bài học trước. Chúc các bạn học tập vui vẻ!

Tags Giải hệ phương trình hệ phương trình giải toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9

Bài sau

Có thể bạn quan tâm

Bài sau

Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Có thể bạn quan tâm

Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn học sinh không nên bỏ qua