Phép đối xứng tâm lớp 11

Phép đối xứng tâm lớp 11

Hôm nay Cunghocvui sẽ chia sẻ với các bạn về lý thuyết các dạng bài tập về phép đối xứng tâm!

I. Phép đối xứng tâm

1. Định nghĩa

Áp dụng đối với một mặt phẳng bất kì và một điểm E cho trước thuộc mặt phẳng. Phép biến hình biến điểm M của mặt phẳng thành điểm M’ sao cho \(\overline {EM'}=-\overline{EM}\)được gọi là phép đối xứng tâm E.

Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O góc quay 180 độ.

Ký hiệu: \(Đ_E(M) = M’\)

2. Tính chất cơ bản

Định lý 1:Nếu \(Đ_E(M) = M’; Đ_E(N) = N\)’ thì \(\begin{align} \begin{cases} M'N'=MN \\ \overline{M'N'}=-\overline{MN} \end{cases}\end{align}\)

Định lý 2: Nếu 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự thì qua phép đối tâm biến thành 3 điểm M’, N’, P’ tương ứng cũng thẳng hàng theo thứ tự đó.

Nhận xét: Đối với các trường hợp lấy đối xứng ta luôn tìm thấy một hình ảnh phản diện tương đương với hinfhn ảnh ban đầu ví dụ đối với đường thẳng thì cho ra một đường đối xứng tương tự. Cách diễn giải này hoàn toàn thích hợp trong việc giải thích về một đoạn thẳng đối xứng, một hình tròn và một tam giác đối xứng, một góc tương tự đối xứng.

3. Biểu thức tọa đọ của phéo đối xứng tâm

Xét trong một hệ mặt phẳng bất kỳ và một điểm E với tọa độ cho trước và điểm \(M(x_0;y_0)\). \(Đ_E(M) = M’(x'_0;y'_0)\) có biểu thức tọa độ là:

\(\begin{align} \begin{cases} x_0'=2a-x_0 \\ y_0'=2a-y_0 \end{cases}\end{align}\)

II. Các dạng bài tập về phép đối xứng tâm

1. Dạng 1: Xác định tác động nhất định của ảnh qua tâm đối xứng của một hình nào đó.

PP: Để giải được bài tập dạng này ta sử dụng phương pháp áp dụng tính chất của tâm đối xứng và các tính chất của ảnh đối xứng.

Ví dụ: Cho điểm I(1;1) và đường thẳng d: x+2y+3=0. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

Lời giải.

Cách 1. Lấy điểm \(M(x;y) \in  d\Rightarrow x+2y+3=0 (*)\)
Gọi \(M'(x';y')=Đ_1(M) \ thì \ \begin{align} \begin{cases} x'=2-x \\ y'=2-y \end{cases}\end{align} \Leftrightarrow \)\(\begin{align} \begin{cases} x=2-x' \\ y=2-y' \end{cases}\end{align}\)

Thay vào (*) ta được \((2-x')+2(2-y')+3=0 \Leftrightarrow x'+2y'-9=0\)

Vậy ảnh của d là đường d': x+2y-3=0.

Cách 2: Gọi d' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I, thì d' song song hoặc trùng với d nên d' có dạng: x+2y+c=0

Lấy \(N(-3;0) \in d, \ gọi \ N'=Đ_1(N) \ thì \ N'(5;2)\)

Lại có \(N' \in d \Rightarrow 5+2.2+c=0 \Rightarrow c=-9.\)

Vậy ảnh của d là đường d': x+2y-3=0.

Giải bài tập phép đối xứng tâm

2. Dạng 2: Qua ảnh được tạo và ảnh lấy đối xứng ta xác định tâm dùng làm điểm đối xứng.

Ví dụ: Cho đường thẳng d; x-2y+6=0 và d': x-2y-10=0. Xác định phép đối xứng d' thích hợp của đường thẳng d sao cho điểm I là điểm đối xứng qua trục Ox.

Lời giải: 

Tọa độ giao điểm của d,d' với Ox lần lượt là A(-6;0) và B(10;0).

Do phép đối xứng tâm biến d thành d' và biến trục Ox thành chính nó nên biến giao điểm A của d với Ox thành giao điểm A' của d' với Ox do đó tâm đối xứng là trung điểm của AA' . Vậy tâm đỗi xứng là I(2;0).

3. Dạng 3: Tìm tâm đối xứng của một hình.

Ví dụ: Tìm tâm đối xứng của đường cong (C) có phương trình: \(y = x^3-3x^2+3\).

Lời giải: Lấy điểm \(M(x;y) \in C \Rightarrow y=x^3-3x^2+2(*)\)

Gọi I(a;b) là tâm đối xứng của (C) và M(x';y') là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I. Ta có:

\(\begin{align} \begin{cases} x'=2a-x \\ y'=2b-y \end{cases}\end{align} \Leftrightarrow\)\(\begin{align} \begin{cases} x=2a-x' \\ y=2b-y' \end{cases}\end{align}\)

Thay vào (*) ta được:\(2b-y'=(2a-x)^2-3(2a-x')^2+3 \Leftrightarrow y'=x'^3-3x'^2+3+(6-6a)x'^2+(12a^2-12a)x'=8a^3_1+2^2+2b+6(*)\)

Mặt khác \(M'\in (C) \ nên \ y'=x'^3-3x'^2+3 \ do \ đó \ (*)\)

\(\Leftrightarrow (6-6a)x'^2+(12a^2-12a)x'-8a^3+12a^2-2b-6=0, \forall x'\)

\(\Leftrightarrow \begin{align} \begin{cases} 6-6a=0 \\ 12a^2-12a=0 \\ -8a^3+12a^2+2b-6=0 \end{cases}\end{align} \Leftrightarrow \)\(\begin{align} \begin{cases} a= 1 \\ b=1 \end{cases}\end{align}\).

Vậy \(I(1;1) \) là tâm đối xứng của (C).

3. Dạng 3: Dựng hình theo yêu cầu áp dụng lý thuyết đối xứng tâm.

Xác địinh điểm cần thiết để dựng hình qua một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay \(Đ_1\)nào đó.

Ví dụ: Cho hai đường thẳng \(d_1;d_2\) và hai điểm A, G không thuộc \(d_1;d_2\). Hãy dựng tam giác ABC có trọng tâm G và hai đỉnh B, C lần lượt thuộc \(d_1;d_2\).

Phân tích:

Giả sử đã dựng được tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu bài toán:

Gọi I là trung điểm của BC thì \(Đ_1(C) =B \ mà \ C\in d_2\) nên \(B\in d_2'\) với \(d_2'\) là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I. Lại có \(B\in d_1 \Rightarrow B=d_1\in d'_2\).

Cách dựng:

- Dựng điểm I sao cho \(\overrightarrow {AI}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow {AG}\).

- Dựng đường thẳng \(d_2'\) ảnh của \(d_2\) qua \(Đ_1\).

- Gọi \(B=d_1 \in d_2'\)

- Dựng điểm \(C= Đ_1(B)\)

Tam giác ABC là tam giác phải dựng.

Hy vọng với những kiến thức bổ ích mà Cunghocvui muốn chia sẻ về các dạng hợp thành của 2 phép đối xứng tâm trên đây, sẽ giúp các bạn học tốt hơn môn Toán học!