Bài 1 trang 15 SGK Hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A(-1;3)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(x-2y + 3 = 0\). Tìm ảnh của \(A\) và \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O\).

Hướng dẫn giải

Gọi A' là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O, khi đó O là trung điểm của AA' \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_O} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_O} - {y_A}\end{array} \right.\)

Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.

Cách 1:

Bước 1: Lấy hai điểm B, C bất kì thuộc đường thẳng d.

Bước 2: Xác định ảnh B'; C' của B;C qua phép đối xứng tâm O.

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng B'C'; khi đó B'C' chính là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.

Cách 2:

Bước 1: Ảnh của d qua phép đối xứng tâm O là đường thẳng song song với d, suy ra dạng phương trình đường thẳng d'.

Bước 2: Lấy một điểm B bất kì thuộc d, tìm ảnh B' của điểm B qua phép đối xứng tâm O.

Bước 3: Thay tọa độ điểm B' vào phương trình đường thẳng d' và suy ra phương trình đường thẳng d'.

Lời giải chi tiết

Gọi A' là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O, khi đó O là trung điểm của AA' \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_O} - {x_A}=1 \\{y_{A'}} = 2{y_O} - {y_A}=-3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A'\left( {1; - 3} \right)\)

Để tìm ảnh của đường thẳng \(d\) ta có thể dùng các cách sau:

Cách 1:

Đường thẳng \(d\) đi qua \(B(-3;0)\) và \(C (-1;1)\).

Ta có: \(B' = {D_{O}}(B) = (3;0)\) và \(C' = {D_{O}}(C) = (1;-1)\).

Khi đó ảnh của d qua phép đối xứng tâm O là đường thẳng B'C' có phương trình: \(d'\) : \( \frac{x-3}{1-3}\) = \( \frac{y}{-1}\Leftrightarrow x - 2y - 3= 0\)

Cách 2:

Đường thẳng \(d\) đi qua \(B(-3;0)\), \(d'\) là ảnh của d qua phép đối xứng tâm \(O\) nên nó song song với \(d\). Do đó \(d'\) có phương trình \(x- 2y +C =0\) \(\left( {C \ne 3} \right)\).

Gọi B' là ảnh của B qua phép đối xứng tâm O ta có: \(B' =( 3;0)\)

Vì \(B' \in (d') \Rightarrow 3+C=0 \Rightarrow C = -3\) (tm).

Vậy ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O\) là đường thẳng \(d'\) có phương trình \(x-2y-3=0\)