Câu 50 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 50. Cho phương trình  \({{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x} \over {2\cos x - \sin x}} = \cos 2x.\)

a. Chứng minh rằng \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) nghiệm đúng phương trình.

b. Giải phương trình bằng cách đặt \(\tan x = t\) (khi \(x \ne {\pi \over 2} + k\pi \)   )

Hướng dẫn giải

a. Thay \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) vào phương trình ta được :

\({{{{\left( { - 1} \right)}^{3k}}} \over { - {{\left( { - 1} \right)}^k}}} = \cos \pi \Leftrightarrow - 1 = - 1\) (luôn đúng)

Vậy \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) là nghiệm phương trình

b. * \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) là nghiệm phương trình.

* Với \(x \ne {\pi \over 2} + k\pi \) chia tử và mẫu của vế trái cho \({\cos ^3}x\) ta được :

\({{{{\tan }^3}x + 1} \over {2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - \tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}} = {{1 - {{\tan }^2}x} \over {1 + {{\tan }^2}x}}\) 

Đặt \(t = \tan x\) ta được :

\(\eqalign{& {{{t^3} + 1} \over {\left( {2 - t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right)}} = {{1 - {t^2}} \over {1 + {t^2}}} \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = \left( {{t^2} - 1} \right)\left( {t - 2} \right) \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = {t^3} - 2{t^2} - t + 2 \cr & \Leftrightarrow 2{t^2} + t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{t = - 1} \cr {t = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = - 1} \cr {\tan x = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr} } \right. \cr & \text{ với }\,\tan \alpha = {1 \over 2} \cr} \) 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm :\(x = {\pi \over 2} + k\pi ,x = - {\pi \over 4} + k\pi ,x = \alpha + k\pi \,\left( {k \in\mathbb Z} \right)\)