Câu 47 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 47. Giải các phương trình sau :

a.  \(\sin 2x + {\sin ^2}x = {1 \over 2}\)

b.  \(2{\sin ^2}x + 3\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0\)

c.  \({\sin ^2}{x \over 2} + \sin x - 2{\cos ^2}{x \over 2} = {1 \over 2}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\eqalign{
& \sin 2x + {\sin ^2}x = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow \sin 2x + {1 \over 2}\left( {1 - \cos 2x} \right) = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow \sin 2x - {1 \over 2}\cos 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \tan 2x = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow 2x = \alpha + k\pi \,\text{ với }\,\tan \alpha = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow x = {\alpha \over 2} + k{\pi \over 2},\,k \in\mathbb Z \cr} \)

b.\(x = {\pi \over 2} + k\pi \) không là nghiệm phương trình.

Chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được :

\(\eqalign{& 2{\tan ^2}x + 3\tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = - 1} \cr {\tan x = - {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr} } \right.\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr & \left( {\text{ với }\,\tan \alpha = - {1 \over 2}} \right) \cr} \)

c. Ta có:

\(\eqalign{
& {\sin ^2}{x \over 2} + \sin x - 2{\cos ^2}{x \over 2} = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow {\sin ^2}{x \over 2} + 2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2} - 2{\cos ^2}{x \over 2} = {1 \over 2} \cr} \) 

Với \(x\) mà \(\cos {x \over 2} = 0\) không là nghiệm phương trình.

Chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}{x \over 2}\) ta được :

\(\eqalign{& {\tan ^2}{x \over 2} + 2\tan {x \over 2} - 2 = {1 \over 2}\left( {1 + {{\tan }^2}{x \over 2}} \right) \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}{x \over 2} + 4\tan {x \over 2} - 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan {x \over 2} = 1} \cr {\tan {x \over 2} = - 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{x \over 2} = {\pi \over 4} + k\pi } \cr {{x \over 2} = \alpha + k\pi } \cr} } \right.\,\left( {\text{ với }\,\tan \alpha = - 5} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 2} + k2\pi } \cr {x = 2\alpha + k2\pi } \cr} } \right.\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)