Câu 38 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 38. Giải các phương trình sau :

a.  \({\cos ^2}x - 3{\sin ^2}x = 0\)

b.  \({\left( {\tan x + \cot x} \right)^2} - \left( {\tan x + \cot x} \right) = 2\)

c.  \(\sin x + {\sin ^2}{x \over 2} = 0,5\)

Hướng dẫn giải

a.

\(\eqalign{
& {\cos ^2}x - 3{\sin ^2}x = 0 \cr
& \Leftrightarrow {{1 + \cos 2x} \over 2} - {{3\left( {1 - \cos 2x} \right)} \over 2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} \Leftrightarrow 2x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 6} + k\pi \cr} \) 

b. Đặt \(t = \tan x + \cot x\) với điều kiện \(|t| = |\tan x| + |\cot x| ≥ 2\) (BĐT Cosi)

Ta có:

\(\eqalign{& {t^2} - t = 2 \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = - 1\,\left( \text{loại} \right)} \cr {t = 2} \cr} } \right. \cr & t = 2 \Leftrightarrow \tan x + \cot x = 2 \Leftrightarrow \tan x = {1 \over {\tan x}} = 2 \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 2\tan x + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi \cr} \) 

c.

\(\eqalign{
& \sin x + {\sin ^2}{x \over 2} = 0,5 \cr
& \Leftrightarrow \sin x + {{1 - \cos x} \over 2} = {1 \over 2} \Leftrightarrow \sin x = {1 \over 2}\cos x \cr
& \Leftrightarrow \tan x = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\text{ trong đó }\,\tan \alpha = {1 \over 2} \cr} \)