Câu 30 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 30. Giải các phương trình sau :

a. \(3\cos x + 4\sin x = -5\)

b. \(2\sin2x – 2\cos2x =  \sqrt 2 \)

c. \(5\sin2x – 6\cos^2 x = 13\)

Hướng dẫn giải

a. Chia hai vế phương trình cho \(\sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\) ta được :

\(\eqalign{
& {3 \over 5}\cos x + {4 \over 5}\sin x = - 1 \Leftrightarrow \cos x\cos \alpha + \sin x\sin \alpha = - 1 \cr
& \left( {\text{ trong đó }\,\cos \alpha = {3 \over 5}\text { và }\,\sin \alpha = {4 \over 5}} \right) \cr
& \text{ Ta có }\,:\,\cos \left( {x - \alpha } \right) = - 1 \Leftrightarrow x - \alpha = \pi + k2\pi \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x = \pi + \alpha + k2\pi ,k \in Z \cr} \)

b. Chia hai vế phương trình cho \(\sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \) ta được :

\(\eqalign{& {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2x - {1 \over {\sqrt 2 }}\cos 2x = {1 \over 2} \Leftrightarrow \sin 2x\cos {\pi \over 4} - \cos 2x\sin {\pi \over 4} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {2x - {\pi \over 4}} \right) = {1 \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x - {\pi \over 4} = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {2x - {\pi \over 4} = \pi - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {{5\pi } \over {24}} + k\pi } \cr {x = {{13\pi } \over {24}} + k\pi } \cr} } \right.,k \in \mathbb Z \cr} \) 

c.

\(\eqalign{
& 5\sin 2x - 6{\cos ^2}x = 13 \Leftrightarrow 5\sin 2x - 3\left( {1 + \cos 2x} \right) = 13 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 5\sin 2x - 3\cos 2x = 16 \cr} \) 

Chia cả hai vế cho \(\sqrt {{5^2} - {3^2}} = \sqrt {34} \) ta được :

\({5 \over {\sqrt {34} }}\sin 2x - {3 \over {\sqrt {34} }}\cos 2x = {{16} \over {\sqrt {34} }}\) 

Do \({\left( {{5 \over {\sqrt {34} }}} \right)^2} + {\left( {{3 \over {\sqrt {34} }}} \right)^2} = 1\) nên ta chọn được số \(α\) sao cho :

\(\cos \alpha = {5 \over {\sqrt {34} }}\,\text{ và }\,\sin \alpha = {3 \over {\sqrt {34} }}\) 

Ta có: \(5\sin 2x - 6{\cos ^2}x = 13 \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \alpha } \right) = {{16} \over {\sqrt {34} }} > 1\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.