Câu 3 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên cạnh CB và CD, đặt CM =x, CN = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để :
a. Hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau góc 45˚ ;
b. Hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
a. Ta có: AM, AN cùng vuông góc với SA mà ^MAN≤90∘ˆMAN≤90∘ nên ^MANˆMAN là góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN). Hai mặt phẳng đó tạo với nhau góc 45˚ khi và chỉ khi ^MAN=45∘ˆMAN=45∘
Mặt khác, M ϵ BC, N ϵ CD, ^BAD=90∘ˆBAD=90∘ nên điều
đó xảy ra khi ^BAM+^DAN=45∘,ˆBAM+ˆDAN=45∘,
Từ đó ta có : 1=tan^BAM+tan^DAN1−tan^BAM.tan^DAN(∗)1=tanˆBAM+tanˆDAN1−tanˆBAM.tanˆDAN(∗)
(Áp dụng công thức tan(x+y)=tanx+tany1−tanxtanytan(x+y)=tanx+tany1−tanxtany )
Vì tan^BAM=a−xa,tan^DAN=a−ya,tanˆBAM=a−xa,tanˆDAN=a−ya, nên (∗)⇔2a2+xy=2a(x+y)(∗)⇔2a2+xy=2a(x+y)
Đó là hệ thức liên hệ giữa x và y để các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau góc 45˚
b. Ta có: (SAM) ⊥ (ABCD), từ đó nếu (SMN) ⊥ (SAM) thì giao tuyến MN của (SMN) và (ABCD) sẽ vuông góc với (SAM), tức MN ⊥ AM.
Ngược lại, nếu có MN ⊥ AM thì do SA ⊥ MN nên MN ⊥ (SAM), suy ra (SMN) ⊥ (SAM)
Vậy (SAM) ⊥ (SMN) khi và chỉ khi ^AMN=90∘.ˆAMN=90∘.
⇔a2+(a−x)2+x2+y2=a2+(a−y)2⇔ay=x(a−x) với 0≤x≤a,0≤y≤a.