Đăng ký

Câu 3 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên cạnh CB và CD, đặt CM =x, CN = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để :

a. Hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau góc 45˚ ;

b. Hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

a. Ta có: AM, AN cùng vuông góc với SA mà ^MAN90ˆMAN90 nên ^MANˆMAN là góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN). Hai mặt phẳng đó tạo với nhau góc 45˚ khi và chỉ khi ^MAN=45ˆMAN=45

Mặt khác, M ϵ BC, N ϵ CD, ^BAD=90ˆBAD=90 nên điều

đó xảy ra khi ^BAM+^DAN=45,ˆBAM+ˆDAN=45,

Từ đó ta có : 1=tan^BAM+tan^DAN1tan^BAM.tan^DAN()1=tanˆBAM+tanˆDAN1tanˆBAM.tanˆDAN()

(Áp dụng công thức tan(x+y)=tanx+tany1tanxtanytan(x+y)=tanx+tany1tanxtany )

tan^BAM=axa,tan^DAN=aya,tanˆBAM=axa,tanˆDAN=aya, nên ()2a2+xy=2a(x+y)()2a2+xy=2a(x+y)

Đó là hệ thức liên hệ giữa x và y để các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau góc 45˚

b. Ta có: (SAM) ⊥ (ABCD), từ đó nếu (SMN) ⊥ (SAM) thì giao tuyến MN của (SMN) và (ABCD) sẽ vuông góc với (SAM), tức MN ⊥ AM.

Ngược lại, nếu có MN ⊥ AM thì do SA ⊥ MN nên MN ⊥ (SAM), suy ra (SMN) ⊥ (SAM)

Vậy (SAM) ⊥ (SMN) khi và chỉ khi ^AMN=90.ˆAMN=90.

a2+(ax)2+x2+y2=a2+(ay)2ay=x(ax) với 0xa,0ya.