Câu 26 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 26. Hãy chứng minh định lí 3.

Hướng dẫn giải

Ta sẽ chứng minh \({S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}\) (1)

+) Với mọi \(n \in \mathbb N^*\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \({S_1} = {u_1} = {{1\left( {{u_1} + {u_1}} \right)} \over 2}.\) Như vậy (1) đúng với \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k  \in \mathbb N^*\), tức là:

\({S_k} = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)

\(\eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + {u_{k + 1}} \cr
& = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2} + {u_{k + 1}} \cr
& = {{k\left( {{u_1} + {u_{k + 1}} - d} \right) + 2{u_{k + 1}}} \over 2} \cr
& = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_{k + 1}} - kd} \over 2} \cr
& = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_1}} \over 2} \cr
& = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{u_1} + {u_{k + 1}}} \right)} \over 2} \cr} \)

Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\)

Vậy (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

Cách khác :

Ta có:

\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}} + {u_n}} \cr {{S_n} = {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_2} + {u_1}} \cr} } \right. \cr & \Rightarrow 2{S_n} = \left( {{u_1} + {u_n}} \right) + \left( {{u_2} + {u_{n - 1}}} \right) + ... + \left( {{u_{n - 1}} + {u_2}} \right) + \left( {{u_n} + {u_1}}\right) \cr} \)

Mà  \({u_2} + {u_{n - 1}} = {u_3} + {u_{n - 2}} = ... = {u_n} + {u_1}\)

Do đó  \(2{S_n} = n\left( {{u_1} + {u_n}} \right) \Rightarrow {S_n} = {n \over 2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\)