Câu 17 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.

a. Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn.

b. Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp(ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC.

c. Chứng minh rằng \({1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} + {1 \over {O{C^2}}}\)

Hướng dẫn giải

a. Đặt a = OA, b = OB, c = OC. Ta có:

\(AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,BC = \sqrt {{b^2} + {c^2}} ,AC = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có :

\(\cos A = {{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \over {AB.AC}} = {{{a^2} + {b^2} + {a^2} + {c^2} - {b^2} - {c^2}} \over {AB.AC}} = {{2{a^2}} \over {AB.AC}} > 0\)

⇒ A nhọn. Tương tự B, C là các góc nhọn.

Vậy ΔABC có ba góc nhọn.

b.

Vì H là hình chiếu của điểm O trên mp(ABC)

nên OH ⊥ (ABC)

Mặt khác OA ⊥ (OBC) nên OA ⊥ BC.

Vậy AH ⊥ BC (định lí ba đường vuông góc), tức

là H thuộc một đường cao của tam giác ABC

Tương tự như trên ta cũng có H thuộc đường cao

thứ hai của tam giác ABC.

Vậy H là trực tâm tam giác ABC

c. Nếu AH ⊥ BC tại A’ thì BC ⊥ OA’.

Vì OH là đường cao của tam giác vuông AOA’ (vuông tại O) và OA’ là đường cao của tam giác vuông BOC (vuông tại O) nên :

\({1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {OA{'^2}}},{1 \over {OA{'^2}}} = {1 \over {O{B^2}}} + {1 \over {O{C^2}}}\)

Vậy \({1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} + {1 \over {O{C^2}}}\)