Câu 14 trang 102 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho điểm S có hình chiếu trên mp(P) là H. Với điểm M bất kì trên (P) (M không trùng H), ta gọi đoạn thẳng SM là đường xiên, đoạn thẳng HM là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh rằng :

a. Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau.

b. Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào dài hơn thì có hình chiếu dài hơn và ngược lại, đường xiên nào có đường chiếu dài hơn thì dài hơn.

Hướng dẫn giải

a. Giả sử HM, HN lần lượt là hình chiếu của SM, SN.

*Nếu SM = SN thì ΔSHM = ΔSHN nên HM = HN

Ngược lại nếu HM = HN thì ΔSHM = ΔSHN nên SM = SN

Vậy SM = SN ⇔ HM = HN

b. Áp dụng định lí Pytago, ta có :

\(\eqalign{  & S{M^2} - H{M^2} = S{N^2} - H{N^2}\left( { = S{H^2}} \right)  \cr  &  \Rightarrow S{M^2} - S{N^2} = H{M^2} - H{N^2} \cr} \)

Từ đó suy ra : SM > SN ⇔ HM > HN (đpcm)