Câu 10 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 10. Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương trình \(y = {x \over 3}\) với đồ thị của hàm số \(y = \sin x\) đều cách gốc tọa độ một khoảng nhỏ hơn  \(\sqrt {10} \)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(y = {x \over 3}\) đi qua các điểm \(E(-3 ; -1)\) và \(F(3 ; 1)\)

Chỉ có đoạn thẳng \(EF\) của đường thẳng đó nằm trong dải \(\left\{ {\left( {x{\rm{ }};{\rm{ }}y} \right)| - 1{\rm{ }} \le {\rm{ }}y{\rm{ }} \le {\rm{ }}1} \right\}\) (dải này chứa đồ thị cuả hàm số \(y = \sin x\)). Vậy các giao điểm của đường thẳng  \(y = {x \over 3}\)  với đồ thị của hàm số \(y = \sin x\) phải thuộc đoạn \(EF\) ; mọi điểm của đoạn thẳng này cách \(O\) một khoảng dài hơn \(\sqrt {9 + 1} = \sqrt {10} \) (và rõ ràng \(E, F\) không thuộc đồ thị của hàm số \(y = \sin x\)).