Bài 8 trang 44 SGK Giải tích 12

Đề bài

Cho hàm số \(y = {x^3} + (m + 3){x^2} + 1 - m\) (m là tham số) có đồ thị là (C_m).

a) Xác định \(m\) để hàm số có điểm cực đại là \(x=-1\).

b) Xác định \(m\) để đồ thị (C_m) cắt trục hoành tại \(x=-2\).

Hướng dẫn giải

a) Sử dụng kiến thức: hàm số  \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại tại điểm  \(x= {x_0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right..\)

b) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có M hoành độ  \(x = a \Rightarrow M(a;0) \). Thay tọa độ điểm M vào công thức hàm số để tìm m.

Lời giải chi tiết

a)  \(y = {x^3} + \left( {m + 3} \right){x^2} + 1 - m.\)

Ta có:  \(y' = 3{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x \Rightarrow y'' = 6x + 2\left( {m + 3} \right).\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm  \(x =  - 1\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( 1 \right) = 0\\y''\left( 1 \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - 2\left( {m + 3} \right) = 0\\ - 6 + 2\left( {m + 3} \right) < 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - \frac{3}{2}\\m < 0\end{array} \right. \Rightarrow m =  - \frac{3}{2}.\)

Vậy \(m=-\frac{3}{2}.\) thì hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x=-1\).

b) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có M hoành độ  \(x = -2 \Rightarrow M(-2;0) \).

\(\begin{array}{l}\Rightarrow {\left( { - 2} \right)^3} + \left( {m + 3} \right){\left( { - 2} \right)^2} + 1 - m = 0\\ \Leftrightarrow  - 8 + 4\left( {m + 3} \right) + 1 - m = 0\\\Leftrightarrow 4m + 5 - m = 0\\\Leftrightarrow 3m =  - 5\\\Leftrightarrow m =  - \frac{5}{3}.\end{array}\).