Bài 6 trang 44 SGK Giải tích 12

Đề bài

Cho hàm số  \(y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\) .

         a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \(m\), hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

         b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua \(A(-1 ; \sqrt2)\).

         c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 2\).

Hướng dẫn giải

a) Chứng mình hàm số có \(y' > 0\;\;\forall x \in D.\) 

b) Xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm số theo m. Sau đó thế tọa độ của điểm A vào phương trình đường tiệm cận để tìm m.

c) Thay giá trị của m đã cho vào công thức hàm số sau đó khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết

a) \(y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\).

Tập xác định: \(\mathbb R\backslash \left\{ {{{ - m} \over 2}} \right\}\)  ;

Ta có:  \(y' = {{{m^2} + 2} \over {{{(2x + m)}^2}}} > 0,\forall x \ne  - {m \over 2}\)

  Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Tiệm cận đứng \(∆\) : \(x =  - {m \over 2}\).

     Vì  \(A(-1 ; \sqrt2) ∈ ∆\) \(⇔- {m \over 2}= -1 ⇔ m = 2\).

c) Với \(m = 2\) thì hàm số đã cho có phương trình là: \(y = {{2x - 1} \over {2x + 2}}\).

Tập xác đinh: \(D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \)

* Sự biến thiên:

Ta có: \(y' = {2.2+2 \over {{{(2x + 2)}^2}}}={6 \over {{{(2x + 2)}^2}}} > 0\forall x \in D\)

- Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\)

- Cực trị:

   Hàm số không có cực trị.

- Tiệm cận:

   \(\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1 \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ - }} = + \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ + }} = - \infty \cr} \)

Tiệm cận đứng là \(x=-1\), tiệm cận ngang là: \(y=1\)

- Bảng biến thiên

* Đồ thị

Đồ thị hàm số giao \(Ox\) tại điểm \(({1\over 2};0)\), giao \(Oy\) tại điểm \((0;{-1\over 2})\).

Đồ thị hàm số nhận điểm \(I(-1;1)\) làm tâm đối xứng.