Bài 78 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Bài 78. Giải phương trình

\(a)\,\left( {{1 \over 3}} \right) ^x= x + 4\,;\)

\(b)\,{\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^x} + {\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^x} = 1.\)

Hướng dẫn giải

a) Rõ ràng \(x=-1\) là nghiệm của phương trình

Với \(x<-1\) ta có \({\left( {{1 \over 3}} \right)^{ - x}} > 3 > x + 4\) phương trình không có nghiệm \(x<-1\)

Với \(x>-1\) ta có \({\left( {{1 \over 3}} \right)^x} < {\left( {{1 \over 3}} \right)^{ - 1}} = 3 < x + 4\) phương trình không có nghiệm \(x>-1\)

Vậy \(S = \left\{ { - 1} \right\}\)

b) Rõ ràng \(x=2\) là nghiệm của phương trình

Do \( 0 < \sin {\pi  \over 5} < 1\) và \(0 < \cos {\pi  \over 5} < 1\) nên:

Nếu \(x>2\) thì \({\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^x} < {\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^2}\) và \({\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^x} < {\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^x} + {\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^2} < 1\)

- Nếu \(x < 2\) thì \({\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^x} > {\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^2}\) và \({\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^x} > {\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^2}\)

                  \( \Rightarrow {\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^x} + {\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^2} > 1\)   

Vậy \(S = \left\{ 2 \right\}\)