Bài 75 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao
Đề bài
Bài 75. Cho hàm số: y=x4−(m+1)x2+m
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.
b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
Hướng dẫn giải
a) Với m=2 hàm số đã cho có dạng: y=x4−3x2+3
Tập xác định: D=R
y′=4x3−6xy′=0⇔[x=0x=√62x=−√62
Hàm số đồng biến trên khoảng: (−√62;0) và (√62;+∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng: (−∞;−√62) và (0;√62)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=0;y(0)=2
Hàm số đạt cực tiểu tại x=√62 và x=−√62, y(±√62)=−14
Giới hạn: limx→±∞y=+∞
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thi cắt tung độ tại điểm (0;2)
Đồ thị cắt hoành độ tại 4 điểm: (−√2;0),(−1;0)(1;0),(√2;0)
Đồ thị hàm số là hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.
b) Hoành độ giao điểm của đường cong (C) và trục là nghiệm phương trình
x4−(m+1)x2+m=0(1)⇔[x2=1x2=m
(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m>0 và m≠1
Khi đó (1) có 4 nghiệm: x=−1;x=1;x=−√m;x=√m
* −√m<−1<1<√m
(C) cắt trục tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi √m−1=1−(−1)=2⇔m=9
* −1<−√m<√m<1
(C) cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi 1−√m=√m−(−√m)=2√m
Vậy m= 9 hoặc m=19