Bài 71 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Bài 71. Chu vi của một tam giác là 16cm, độ dài một cạnh tam giác là 6cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhât.

Hướng dẫn: Có thể áp dụng công thức Hê-rông để tính diện tích tam giác: Nếu tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thì diện tích của nó là: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)   (p là nửa chu vi của tam giác.)

Hướng dẫn giải

Gọi x, y là độ dài hai cạnh còn lại của tam giác.

Ta có: \(x + y = 16 - 6 = 10,\,x > 0,\,y > 0\)

Diện tích tam giác là: \(S = \sqrt {p\left( {p - 6} \right)\left( {p - x} \right)\left( {p - y} \right)}  = \sqrt {8.2\left( {8 - x} \right)\left( {8 - y} \right)}  = 4\sqrt {\left( {8 - x} \right)\left( {8 - y} \right)} \)

Thay y= 10- x , ta được \(S = 4\sqrt {\left( {8 - x} \right)\left( {x - 2} \right)}  = 4\sqrt {{-x^2} + 10x - 16} \,\,\,\left( {0 < x < 10} \right)\)

S đạt gía trị lớn nhất trên khoảng (0;10) khi và chỉ khi hàm số \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 10x - 16\) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0;10).

\(f'\left( x \right) =  - 2x + 10;\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 5;\,f\left( 5 \right) = 9\)

Tam giác có diện tích lớn nhất khi x = 5 (cm) và y= 5 (cm)

\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left( {0;10} \right)} f\left( x \right) = f\left( 5 \right) = 9\)

Khi đó diện tích tam giác là: \(S = 4\sqrt 9  = 12\left( {c{m^2}} \right)\)