Bài 73 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao
Đề bài
Bài 73. Cho hàm số f(x)=x3+px+qf(x)=x3+px+q
a) Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu.
b) Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình: x3+px+q=0(1)x3+px+q=0(1) có ba nghiệm phân biệt.
c) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là: 4p3+27q2<04p3+27q2<0
Hướng dẫn giải
a) Ta có f′(x)=3x2+p
f′(x)=0⇔3x2+p=0(1)
Hàm số f có một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔p<0
Khi đó hai nghiệm của (1) là: x=−√−p3;x=√−p3
Bảng biến thiên:
Với M=(−√−p3)3−p√−p3+q=q−23p√−p3
m=(√−p3)3+p√−p3+q=q+23p√−p3
b) Nếu Mm<0 và m < 0, khi đó, phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm α,β,γ với α<−√−p3;−√−p3<β<√−p3vàγ>√−p3
c) Nếu Mm > 0 thì hai số M và m cùng dấu.
Nếu M < 0 và m < 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất (Lớn hơn √−p3)
Nếu M > 0 và m > 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất ( Nhỏ hơn √−p3)
Vậy điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là:
{p<0Mm=q2−49p2(−p3)<0⇔4p3+27q2<0