Đăng ký

Bài 73 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Bài 73. Cho hàm số f(x)=x3+px+qf(x)=x3+px+q

a) Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu.

b) Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình: x3+px+q=0(1)x3+px+q=0(1) có ba nghiệm phân biệt.

c) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là: 4p3+27q2<04p3+27q2<0

Hướng dẫn giải

a) Ta có f(x)=3x2+p

f(x)=03x2+p=0(1)

Hàm số f có một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt p<0

Khi đó hai nghiệm của (1) là: x=p3;x=p3

Bảng biến thiên: 

Với M=(p3)3pp3+q=q23pp3

m=(p3)3+pp3+q=q+23pp3

b) Nếu Mm<0 và m < 0, khi đó, phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm α,β,γ với α<p3;p3<β<p3γ>p3

c) Nếu Mm > 0 thì hai số M và m cùng dấu.

Nếu M < 0 và m < 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất (Lớn hơn p3)

Nếu M > 0 và m > 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất ( Nhỏ hơn p3)

Vậy điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là: 

{p<0Mm=q249p2(p3)<04p3+27q2<0