Bài 64 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Bài 64.Cho hàm số \(y = {{a{x^2} - bx} \over {x - 1}}\)
a) Tìm \(a\) và \(b\) biết rằng đồ thị \((C)\) của hàm số đã cho đi qua điểm \(A\left( { - 1;{5 \over 2}} \right)\) và tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(O(0;0)\) có hệ số bằng \(-3\).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của \(a\) và \(b\) đã tìm được.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \({M_o} \in \left( C \right)\) \(y' = {{\left( {12ax - b} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {a{x^2} - bx} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Đồ thị \((C)\) đi qua \(A\left( { - 1;{5 \over 2}} \right)\) \( \Leftrightarrow y\left( { - 1} \right) = {5 \over 2} \Leftrightarrow {{a + b} \over { - 2}} = {5 \over 2} \Leftrightarrow a + b = - 5\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tiếp tuyến của \((C)\) tại \(O(0;0)\) có hệ số góc bằng \(-3\) khi và chỉ khi \(y’(0) = -3 \)\( \Leftrightarrow b = - 3\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(a = -2; b = - 3\).

b) Với \(a = -2; b = - 3\) ta có: \(y = {{ - 2{x^3} + 3x} \over {x - 1}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y' = {{ - 2{x^2} + 4x - 3} \over {{{(x - 1)}^2}}} < 0\,\forall x \in D\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng: \(( - \infty ;1)\) và \((1; + \infty )\)

Hàm số không có cực trị

Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }} = - \infty ;\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = + \infty \)

Tiệm cận đứng là: \(x=1\)

\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{ - 2{x^2} + 3x} \over {{x^2} - x}} = - 2 \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (y + 2x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{ - 2{x^2} + 3x} \over {x - 1}} + 2x} \right) = 1 \cr} \)

Tiệm cận xiên là: \(y=-2x+1\)

Bảng biến thiên: