Bài 62 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Bài 62.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: $y = {{x - 1} \over {x + 1}}$

b) Chứng minh rằng giao điểm $I$ của hai đường tiệm cận của đường cong đã cho là tâm đối xứng của nó.

Hướng dẫn giải

Tập xác định:

 $\eqalign{ & D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\} \cr & \cr}$

Sự biến thiên:

$y' = {2 \over {{{(x + 1)}^2}}} > 0\,\forall x \in D$

Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty ; - 1)$ và $( - 1; + \infty )$

Giới hạn:

$\mathop {\lim y}\limits_{x \to  - {1^ - }}  =  + \infty ;\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to  - {1^ + }}  =  - \infty$

Tiệm cận đứng: $x=-1$

$\mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  = 1$

Tiệm cận ngang: $y=1$ 

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao $Ox$ tại điểm $(1;0)$

Đồ thị giao $Oy$ tại điểm $(0;-1)$

b) Giao điểm của hai tiệm cận của đường cong là $I(-1;1)$

Công thức đổi trục tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow {OI}$ là 

$\left\{ \matrix{ x = X - 1 \hfill \cr y = Y + 1 \hfill \cr} \right.$

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ $IXY$ là:

$Y + 1 = {{X - 1 - 1} \over {X - 1 + 1}} \Leftrightarrow Y + 1 = {{X - 2} \over X} \Leftrightarrow Y =  - {2 \over X}$

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc $I$ làm tâm đối xứng.