Bài 6 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Chứng minh rằng:
a) \(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\);

b) \(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\);

c) \(\sqrt{10}[{(1 + \sqrt{10})}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên.

Hướng dẫn giải

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

a) Phân tích \({11^{10}} = {\left( {1 + 10} \right)^{10}}\).

b) Phân tích \({101^{100}} = {\left( {1 + 100} \right)^{100}}\).

c) Khai triển \({\left( {1 + \sqrt {10} } \right)^{100}}\) và \({\left( {1 - \sqrt {10} } \right)^{100}}\).

Lời giải chi tiết

a) \({11^{10}} - 1 = {\left( {1 + 10} \right)^{10}} - 1 = (1 + C_{10}^1.10 + C_{10}^2{.10^2}\)

\(+ ... + C_{10}^9{.10^9} + {10^{10}}) - 1\)

            \(= {\rm{ }}{10^2} + {\rm{ }}{C^2}_{10}{10^2} +  \ldots  + {\rm{ }}{C^9}_{10}{10^9} + {\rm{ }}{10^{10}}\)

Tổng sau cùng chia hết cho \(10^2=100\) suy ra \(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\).

b) Ta có

\({101^{100}}-1{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}100} \right)^{100}} - {\rm{ }}1\)

                  \(= (1 + C_{100}^1.100 + C_{100}^2{100^2} + ... + \)

                  \(C_{100}^{99}{100^{99}} + {100^{99}}) - 1\)

                     \( = {100^2} + C_{100}^2{.100^2} + ... + C_{100}^{99}{.100^{99}} + {100^{100}}\)

Tổng sau cùng chia hết cho \(100^2=10 000\) suy ra \(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\).

c) Ta có:

\({(1 + \sqrt {10} )^{100}} = 1 + C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} + ... \)

\(+ C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\)

\({(1 - \sqrt {10} )^{100}} = 1 - C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - ... \)

\(- C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\)

\(\sqrt {10} \left[ {{{\left( {1 + \sqrt {10} } \right)}^{100}} - {{\left( {1 - \sqrt {10} } \right)}^{100}}} \right]\)=

\( 2\sqrt {10} .\left[ {C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^3{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^3} + ..+ C_{100}^{99}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{99}}} \right]\)

\(= 2\left( {C_{100}^1.10 + C_{100}^3{{.10}^2} + ... + C_{100}^{99}{{.10}^{50}}} \right)\)

Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra \(\sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên.