Bài 5 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Từ khai triển biểu thức \((3x – 4)^{17}\) thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

Hướng dẫn giải

Sử dụng khai triển nhị thức Newton: \({\left( {x + a} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}{a^{n - k}}} \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Để tính tổng các hệ số của khai triến trên ta cho \(x=1\).

Lời giải chi tiết

Sử dụng khai triển của nhị thức Newton ta có: 

\(\begin{array}{l}
{\left( {3x - 4} \right)^{17}} = \sum\limits_{k = 0}^{17} {C_{17}^k{{\left( {3x} \right)}^{17 - k}}{{\left( { - 4} \right)}^k}} \\
= C_{17}^0{\left( {3x} \right)^{17}} + C_{17}^1{\left( {3x} \right)^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}
\end{array}\)

Khi \(x=1\) ta có: 

\({\left( {3.1 - 4} \right)^{17}} = C_{17}^0{3^{17}} + C_{17}^1{3^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}\)

                    \(=  - 1\).

Vậy tổng các hệ số của đa thức nhận được bằng \(-1\).