Bài 6 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 6. Dùng phương pháp lấy số nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = x\sin x{x \over 2};\)        b) \(f\left( x \right) = {x^2}\cos x;\)

\(c)\,f\left( x \right) = x{e^x};\)               \(d)\,f\left( x \right) = {x^3}\ln x\)

Hướng dẫn giải

a) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \sin {x \over 2}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = - 2\cos {x \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int {x\sin x{x \over 2}dx}  =  - 2x\cos {x \over 2} + 2\int {\cos {x \over 2}dx =  - 2x\cos {x \over 2} + 4\sin {x \over 2} + C} \)

b) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int {{x^2}} \cos xdx = {x^2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - 2\int {x\sin xdx\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)} \)

Tính \(\int {x\sin xdx} \)

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = - \cos x \hfill \cr} \right.\)

 \( \Rightarrow \int {x\sin xdx =  - x\cos x + \int {\cos xdx =  - x\cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + } } \,C\)                             

Thay vào (1) ta được: \(\int {{x^2}\cos xdx = {x^2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 2x\cos x - 2\sin x + C} \)

c) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int {x{e^x}dx = x{e^x} - \int {{e^x}dx}  = x{e^x} - {e^x}}  + C\) 

d) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr
dv = {x^3}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {1 \over x}dx \hfill \cr
v = {{{x^4}} \over 4} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int {{x^3}\ln xdx = {1 \over 4}{x^4}\ln x}  - {1 \over 4}\int {{x^3}dx}  = {1 \over 4}x^4\ln x - {{{x^4}} \over {16}} + C\)