Bài 6 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Đề bài
Bài 6. Dùng phương pháp lấy số nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) f(x)=xsinxx2; b) f(x)=x2cosx;
c)f(x)=xex; d)f(x)=x3lnx
Hướng dẫn giải
a) Đặt
{u=xdv=sinx2dx⇒{du=dxv=−2cosx2
Do đó ∫xsinxx2dx=−2xcosx2+2∫cosx2dx=−2xcosx2+4sinx2+C
b) Đặt
{u=x2dv=cosxdx⇒{du=2xdxv=sinx
Do đó ∫x2cosxdx=x2sinx−2∫xsinxdx(1)
Tính ∫xsinxdx
Đặt
{u=xdv=sinxdx⇒{du=dxv=−cosx
⇒∫xsinxdx=−xcosx+∫cosxdx=−xcosx+sinx+C
Thay vào (1) ta được: ∫x2cosxdx=x2sinx+2xcosx−2sinx+C
c) Đặt
{u=xdv=exdx⇒{du=dxv=ex
Do đó ∫xexdx=xex−∫exdx=xex−ex+C
d) Đặt
{u=lnxdv=x3dx⇒{du=1xdxv=x44
Do đó ∫x3lnxdx=14x4lnx−14∫x3dx=14x4lnx−x416+C