Đăng ký

Bài 6 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 6. Cho hình lục giác đều ABCDEF cạnh a.

a) Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi lục giác đó khi quay quanh đường thẳng AD.

b) Tính thế tích hình tròn xoay sinh bởi lục giác đó khi quay quanh đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB DE.

Hướng dẫn giải

 

a)

 

Khi quay lục giác dều ABCDEF quanh đường thẳng AD, ta được khối tròn xoay hợp bởi ba khối: Khối nón N1N1 sinh bởi tam giác ABF, khối trụ T sinh bởi hình chữ nhật BCEF và khối nón N2N2 sinh bởi tam giác DCE. Hai khối nón và trụ đều có bán kính đáy là R=BF2=a32.R=BF2=a32. Khối trụ có chiều cao a và các khối nón có chiều cao a2.a2. Vậy khối tròn xoay sinh bởi lục giác đã cho có thể tích là:

V=π(a32)2a+2.13π(a32)2.a2=πa3.V=π(a32)2a+2.13π(a32)2.a2=πa3.

b)

Gọi ΔΔ là đường thẳng nối trung điểm của AB và ED. Khi đó BC và AF cắt nhau tại điểm O trên ΔΔ, Cd và FE cắt nhau tại O’ trên ΔΔ. Gọi V, V1,V2V1,V2 là thể tích các khối tròn xoay lần lượt sinh ra bởi lục giác đều ABCDEF, tam giác OCF và tam giác OAB khi quay quanh ΔΔ, ta có:

V1=13πa2a3=πa333V2=13π(a2)2a32=πa3324.

Do đó V=2(V1V2)=73πa312.