Bài 4 trang 39 SGK Hình học lớp 12

Đề bài

Trong không gian cho hai điểm $A, B$ cố định và có độ dài $AB = 20 cm$. Gọi $d$ là một đường thẳng thay đổi luôn luôn đi qua $A$ và cách $B$ một khoảng  bằng $10 cm$. Chứng tỏ rằng đường thẳng $d$ luôn luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định trục và góc ở đỉnh của mặt nón đó.

Hướng dẫn giải

Dựa vào định nghĩa hình nón: Trong mặt phẳng $(P)$ cho hai đường thẳng $d$ và $\Delta$ cắt nhau tại điểm $O$ vào tạo thành góc $\beta$ với ${0^0}<{\beta}<{90^0}$. Khi quay mặt phẳng $(P)$ xung quanh $\Delta$ thì đường thẳng $d$ sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh $O$. Đường thẳng $\Delta$ gọi là trục, đường thẳng $d$ gọi là đường sinh và góc $2\beta$ gọi là góc ở đỉnh của mặt nón đó.

Lời giải chi tiết

Kẻ $BH \bot d$ ta có $BH = 10cm$. Gọi $\alpha  = \widehat {BAH}$

Ta có $\sin \alpha  = {{BH} \over {AB}} = {1 \over 2} \Rightarrow \alpha  = {30^0}=const$.

Đường thẳng $d$ cắt AB tại điểm A và tạo thành góc $30^0$ nên đường thẳng $d$ luôn thuộc mặt nón nhận đường thẳng $AB$ làm trục và có góc ở đỉnh bằng $2α = 60^0$