Bài 35 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Bài 35. Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau:

a) \(\left| z \right| = 3\) và một acgumen của iz là \({{5\pi } \over 4};\)

b) \(\left| z \right| = {1 \over 3}\) và một acgumen của \({{\overline z } \over {1 + i}}\) là \( - {{3\pi } \over 4}.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(i = \cos {\pi  \over 2} + i\sin {\pi  \over 2}\) nên acgumen của i là \({\pi  \over 2}\). Một acgumen của \(z = {{iz} \over i}\) là \({{5\pi } \over 4} - {\pi  \over 2} = {{3\pi } \over 4}\)

Vậy \(z = 3\left( {\cos {{3\pi } \over 4} + i\sin {{3\pi } \over 4}} \right)\), từ đó dạng lượng giác của các căn bậc hai của z là \(\sqrt 3 \left( {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right)\) và \(-\sqrt 3 \left( {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right)=\sqrt 3 \left( {\cos {{11\pi } \over 8} + i\sin {{11\pi } \over 8}} \right)\).

b) Gọi \(\varphi \) là acgumen của z là -\(\varphi \) là một acgumen của \(\overline z \)

\(1 + i = \sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)\) có một acgumen là \({\pi  \over 4}\) nên một acgumen của \({{\overline z } \over {1 + i}}\) là \( - \varphi  - {\pi  \over 4}\). Theo đề bài ta có:

\( - \varphi  - {\pi  \over 4} =- {{3\pi } \over 4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right) \Rightarrow \varphi  = {\pi  \over 2} + k2\pi \,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right)\)

Vậy \(z = {1 \over 3}\left( {\cos {\pi  \over 2} + i\sin {\pi  \over 2}} \right)\) 

Dạng lượng giác của căn bậc hai của z là:

\({1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)\) và \( - {1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right) = {1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {{5\pi } \over 4} + i\sin {{5\pi } \over 4}} \right)\)