Bài 3 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) \(y = x^2+ x\) tại \(x_0= 1\);

b) \(y =  \frac{1}{x}\) tại \(x_0= 2\);

c) \(y = \frac{x+1}{x-1}\) tại \(x_0 = 0\).

Hướng dẫn giải

Bước 1: Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\), tính \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).

Bước 2: Lập tỉ số \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Bước 3: Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Kết luận \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Lời giải chi tiết

a) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0 = 1\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\\
\,\,\,\,\,\, = {\left( {1 + \Delta x} \right)^2} + \left( {1 + \Delta x} \right) - {1^2} - 1\\
\,\,\,\,\, = 1 + 2\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} + 1 + \Delta x - 2\\
\,\,\,\,\, = \Delta x\left( {\Delta x + 3} \right)\\
\Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \Delta x + 3\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 3} \right) = 3
\end{array}\)

Vậy \(f'(1) = 3\).

b) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 2\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = f\left( {2 + \Delta x} \right) - f\left( 2 \right)\\
\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{2 + \Delta x}} - \frac{1}{2}\\
\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{2 - 2 - \Delta x}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}} = \frac{{ - \Delta x}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}\\
\Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{ - 1}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\frac{{ - 1}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}} \right) = \frac{{ - 1}}{{2.2}} = - \frac{1}{4}
\end{array}\)

Vậy \(f'(2) = -   \frac{1}{4}\).

c) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 0\).Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = f\left( {\Delta x} \right) - f\left( 0 \right)\\
\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\Delta x + 1}}{{\Delta x - 1}} - \frac{{0 + 1}}{{0 - 1}}\\
\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\Delta x + 1}}{{\Delta x - 1}} + 1\\
\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\Delta x + 1 + \Delta x - 1}}{{\Delta x - 1}} = \frac{{2\Delta x}}{{\Delta x - 1}}\\
\Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{2}{{\Delta x - 1}}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\frac{2}{{\Delta x - 1}}} \right) = \frac{2}{{ - 1}} = - 2
\end{array}\)

Vậy \(f'(0) = -2\).