Bài 3 trang 132 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow -3}{lim}$ $\frac{x^{2 }-1}{x+1}$;             b) $\underset{x\rightarrow -2}{lim}$ $\frac{4-x^{2}}{x + 2}$; 

c) $\underset{x\rightarrow 6}{lim}$ $\frac{\sqrt{x + 3}-3}{x-6}$;          d) $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}$ $\frac{2x-6}{4-x}$;

e) $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}$ $\frac{17}{x^{2}+1}$;           f) $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}$ $\frac{-2x^{2}+x -1}{3 +x}$. 

Hướng dẫn giải

Nếu hàm số $y=f(x)$ xác định tại $x=x_0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.

Nếu hàm số có dạng vô định, tìm cách để khử dạng vô định.

Lời giải chi tiết

a) $\underset{x\rightarrow -3}{lim}$ $\frac{x^{2 }-1}{x+1}$ = $\frac{(-3)^{2}-1}{-3 +1} = -4$.

b) $\underset{x\rightarrow -2}{lim}$ $\frac{4-x^{2}}{x + 2}$ = $\underset{x\rightarrow -2}{lim}$ $\frac{ (2-x)(2+x)}{x + 2}$ = $\underset{x\rightarrow -2}{lim} (2-x) = 4$.

c) $\underset{x\rightarrow 6}{lim}$ $\frac{\sqrt{x + 3}-3}{x-6}$ = $\underset{x\rightarrow 6}{lim}$ $\frac{(\sqrt{x + 3}-3)(\sqrt{x + 3}+3 )}{(x-6) (\sqrt{x + 3}+3 )}$ 
= $\underset{x\rightarrow 6}{lim}$ $\frac{x +3-9}{(x-6) (\sqrt{x + 3}+3 )}$ = $\underset{x\rightarrow 6}{lim}$ $\frac{1}{\sqrt{x+3}+3}$ = $\frac{1}{6}$.

d)  $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}$ $\frac{2x-6}{4-x}$ =  $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}$ $\frac{2-\frac{6}{x}}{\frac{4}{x}-1} = -2$.

e) $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}$ $\frac{17}{x^{2}+1} = 0$ vì $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}$  $(x^2+ 1) =$ $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim} x^2( 1 + \frac{1}{x^{2}}) = +∞$.

f) $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}$ $\frac{-2x^{2}+x -1}{3 +x}$ = $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}$ $\frac{-2+\frac{1}{x} -\frac{1}{x^{2}}}{\frac{3}{x^{2}} +\frac{1}{x}} = -∞$, vì $\frac{3}{x^{2}}+\frac{1}{x} > 0$ với $∀x>0$.