Đăng ký

Bài 3 trang 121 SGK Giải tích 12

Đề bài

Parabol y=x22y=x22 chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính 2222 thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.

Hướng dẫn giải

+) Xác định các phần của đường tròn được chia bởi parabol (P).

+) Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng để tính diện tích hai phần được chia sau đó tính tỉ số của hai phần diện tích.

Lời giải chi tiết

Đường tròn đã cho có phương trình: x2+y2=8.x2+y2=8.

Từ đó ta có: y=±8+x2y=±8+x2

Tọa độ giao điểm của (C)(C)(P)(P) là nghiệm của hệ phương trình: 

{x2=2yx2+y2=8{y2+2y8=0x2=2y

{[y=2(tm)y=4(ktm)x2=2y{y=2x=±2

Gọi S1S2 là diện tích hai phần của đường tròn được chia bởi parabol (P) như hình vẽ.

Khi đó ta có:

S1=220(8x2x22)dx

=2208x2dx[x33]|20=2208x2dx83

Đặt x=22sintdx=22costdt

Đổi cận: x=0t=0x=2t=π4

S1=2π4088sin2t.22costdt83

=16π40cos2tdt83=8π40(1+cos2t)dt83

=[8t+4sint2t]|π4083=2π+43

Diện tích hình tròn là: πR2=8π

và  S2=8πS1=8π2π43=6π43.

Vậy  S2S1=9π23π+2.