Bài 3 trang 121 SGK Giải tích 12
Đề bài
Parabol y=x22y=x22 chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính 2√22√2 thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.
Hướng dẫn giải
+) Xác định các phần của đường tròn được chia bởi parabol (P).
+) Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng để tính diện tích hai phần được chia sau đó tính tỉ số của hai phần diện tích.
Lời giải chi tiết
Đường tròn đã cho có phương trình: x2+y2=8.x2+y2=8.
Từ đó ta có: y=±√8+x2y=±√8+x2
Tọa độ giao điểm của (C)(C) và (P)(P) là nghiệm của hệ phương trình:
{x2=2yx2+y2=8⇔{y2+2y−8=0x2=2y
⇔{[y=2(tm)y=−4(ktm)x2=2y⇔{y=2x=±2
Gọi S1 và S2 là diện tích hai phần của đường tròn được chia bởi parabol (P) như hình vẽ.
Khi đó ta có:
S1=2∫20(√8−x2−x22)dx
=22∫0√8−x2dx−[x33]|20=22∫0√8−x2dx−83
Đặt x=2√2sint⇒dx=2√2costdt
Đổi cận: x=0⇒t=0x=2⇒t=π4
S1=2π4∫0√8−8sin2t.2√2costdt−83
=16π4∫0cos2tdt−83=8π4∫0(1+cos2t)dt−83
=[8t+4sint2t]|π40−83=2π+43
Diện tích hình tròn là: πR2=8π
và S2=8π−S1=8π−2π−43=6π−43.
Vậy S2S1=9π−23π+2.