Bài 28 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 28. Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình:

a) \(d:{{x - 1} \over 2} = y - 7 = {{z - 3} \over 4}\,;\,d':{{x - 3} \over 6} = {{y + 1} \over { - 2}} = {{z + 2} \over 1}\)
b)

\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = - 3 - 4t \hfill \cr
z = - 3 - 3t \hfill \cr} \right.\)

d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y - z = 0,\,\,\left( {\alpha '} \right):2x - y + 2z = 0\).

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua M(1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;4} \right)\). Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {3; - 1; - 2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ' = \left( {6; - 2;1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {2; - 8; - 5} \right)\) và \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow u '} \right] = \left( {9;22; - 10} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow u '} \right].\overrightarrow {MM'}  =  - 108 \ne 0\).
Vậy d và d’ chéo nhau.
b) Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0; - 3; - 3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 4; - 3} \right)\)
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương

d và d’ có cùng vectơ chỉ phương và \(M\left( {0; - 3; - 3} \right)\) không nằm trên d’ nên d và d’ song song.