Bài 26 trang 23 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 26. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là

$f\left( t \right) = 45{t^2} - {t^3},t = 0,1,2,...,25$

Nếu coi $f$ là hàm số xác định trên đoạn $\left[ {0;25} \right]$ thì $f'\left( t \right)$ được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm $t$.

a) Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ $5$;

b) Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó;

c) Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn $600$;

d) Xét chiều biến thiên của hàm số $f$ trên đoạn $\left[ {0;25} \right]$.

Hướng dẫn giải

Số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ $t$ là $f\left( t \right) = 45{t^2} - {t^3}$, $t$ nguyên và thuộc $\left[ {0;25} \right]$

Để xét tốc độ truyền bệnh người ta xem hàm số $f$ xác định trên đoạn $\left[ {0;25} \right]$.

a) $f'\left( t \right) = 90t - 3{t^2} = 3t\left( {30 - t} \right)$

Tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ năm là $f'(5) = 375$ (người/ngày)

b) $f''\left( t \right) = 90 - 6t;f''\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 15,f'\left( t \right) = 675$

Tốc độ truyền bệnh là lớn nhất vào ngày $15$.

Tốc độ đó là $f'\left( {15} \right) = 675$ (người/ngày)

c) $f'\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 90t - 3{t^2} > 600 \Leftrightarrow {t^2} - 30t + 200 < 0 \Leftrightarrow 10 < t < 20$

Từ ngày thứ $11$ đến ngày thứ $19$, tốc độ truyền bệnh là lớn hơn $600$ người mỗi ngày.